有向强连通分支Tarjan算法

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  说到以Tarjan命名的算法,我们经常提到的有3个,其中就包括本文所介绍的求强连通分量的Tarjan算法。而提出此算法的普林斯顿大学的Robert E Tarjan教授也是1986年的图灵奖获得者(具体原因请看本博“历届图灵奖得主”一文)。

首先明确几个概念。

  1. 强连通图。在一个强连通图中,任意两个点都通过一定路径互相连通。比如图一是一个强连通图,而图二不是。因为没有一条路使得点4到达点1、2

  

  2.强连通分量。在一个非强连通图中极大的强连通子图就是该图的强连通分量。比如图三中子图{1,2,3,5}是一个强连通分量,子图{4}是一个强连通分量。

  

  

  关于Tarjan算法的伪代码和流程演示请到我的115网盘下载网上某大牛写的Doc(地址:http://u.115.com/file/f96af404d2<Tarjan算法.doc>)本文着重从另外一个角度,也就是针对tarjan的操作规则来讲解这个算法。

其实,tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组,记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的Dfn值(很绕嘴,往下看你就会明白),Dfn数组记录搜索到该点的时间,也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则,经过搜索遍历该图(无需回溯)和对栈的操作,我们就可以得到该有向图的强连通分量。

  1. 数组的初始化:当首次搜索到点p时,Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。
  2. 堆栈:每搜索到一个点,将它压入栈顶。
  3. 当点p有与点p’相连时,如果此时(时间为dfn[p]时)p’不在栈中,p的low值为两点的low值中较小的一个。
  4. 当点p有与点p’相连时,如果此时(时间为dfn[p]时)p’在栈中,p的low值为p的low值和p’的dfn值中较小的一个。
  5. 每当搜索到一个点经过以上操作后(也就是子树已经全部遍历)的low值等于dfn值,则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。
  6. 继续搜索(或许会更换搜索的起点,因为整个有向图可能分为两个不连通的部分),直到所有点被遍历。

由于每个顶点只访问过一次,每条边也只访问过一次,我们就可以在O(n+m)的时间内求出有向图的强连通分量。但是,这么做的原因是什么呢?

Tarjan算法的操作原理如下:

  1. Tarjan算法基于定理:在任何深度优先搜索中,同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说,强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。
  2. 可以证明,当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点,又是强连通子图Ⅱ中的点,则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。
  3. 这样,我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意,该子树中的元素在栈中一定是相邻的,且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。
  4. 强连通分量是由若干个环组成的。所以,当有环形成时(也就是搜索的下一个点已在栈中),我们将这一条路径的low值统一,即这条路径上的点属于同一个强连通分量。
  5. 如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值,则它是该搜索子树的根。这时,它以上(包括它自己)一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。
时间: 2024-10-04 04:05:16

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强连通分量的Tarjan算法

资料参考 Tarjan算法寻找有向图的强连通分量 基于强联通的tarjan算法详解 有向图强连通分量的Tarjan算法 处理SCC(强连通分量问题)的Tarjan算法 强连通分量的三种算法分析 Tarjan算法详解理解集合 ppt图解分析下载 强连通分量 强连通分量(strongly connected component)是图论中的概念.图论中,强连通图指每一个顶点皆可以经由该图上的边抵达其他的每一个点的有向图.意即对于此图上每一个点对(Va,Vb),皆存在路径Va→Vb以及Vb→Va.强连通

Tarjan算法详解理解集合

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poj1236 Network of Schools ,求强连通分量(Tarjan算法),缩点

题目链接: 点击打开链接 题意: 给定一个有向图,求: 1) 至少要选几个顶点,才能做到从这些顶点出发,可以到达全部顶点 2) 至少要加多少条边,才能使得从任何一个顶点出发,都能到达全部顶点 顶点数<= 100 求完强连通分量后,缩点,计算每个点的入度,出度. 第一问的答案就是入度为零的点的个数, 第二问就是max(n,m) // 入度为零的个数为n, 出度为零的个数为m. //kuangbin巨巨分析很棒! #include<cstdio> #include<cstring>

Tarjan 算法

•对于u的子节点v,从v出发进行的DFS结束回到u时,使得 low[u] = min(low[u],low[v]).因为u可达v,所以v可达的最早的节点,也是u可达的. •如果一个节点u,从其出发进行的DFS已经全部完成并回到u,而且此时其low值等于dfn值,则说明u可达的所有节点,都不能到达任何比u早的节点 ---- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根. •此时,显然栈中u上方的节点,都是不能到达比u早的节点的.将栈中节点弹出,一直弹到u(包括u),弹出的节点就构成了一个强连

对求有向图强连通分量的tarjan算法原理的一点理解

先简单叙述一下tarjan算法的执行过程(其他诸如伪代码之类的相关细节可以自己网上搜索,这里就不重复贴出了): 用到两类数组: dfs[]:DFS过程中给定节点的深度优先数,即该节点在DFS中被访问的次序 low[]:从给定节点回溯时,节点的low值为从节点在DFS树中的子树中的节点可以回溯到的栈中DFS值最小的节点的dfs值 一个数据结构:栈,用于确定强连通分量 执行过程:对有向图进行深度优先搜索,每抵达一个新节点A就把该节点A入栈,并初始化dfs[A],然后将low[A]初始化为dfs[A]

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