声明：本文所涉及部分内容可能并非原创。如发现本文侵犯了您的权益，可申请博主删除。
嘛……好久没有写博客了，今天无聊来写一篇~
为什么要写这个呢？因为这个算法让我知道了我什么都不会啊……
闲话少说，切入正题。
1. 筛素数
素数即质数，定义就不说啦
那么我们经典的筛素数的方法呢都很简单，开一个bool数组，从1到$\sqrt n$，如果是素数就把这个数的倍数给筛掉。
时间复杂度显然：$O(nlog_n)$
代码也很简单：
void prime(int n) {
for(int i = 2; i * i<= n; i++)
if(!p[i])
for(int j = i+i; j <= n; j += i) p[j] = true;
}
//p[i]=false：该数是素数；p[i]=true：该数不是素数
//很久以前写的，风格比较迥异QWQ
但是显然，这样的筛素数效率并不高。比如12，在2*6时被筛了一次，在3*4时又被筛了一次。
显然筛素数的算法是有优化空间的。于是，便有了线性筛素数
2. 线性筛素数
又叫欧拉筛法。那么这种方法是怎样提高筛素数的效率的呢？
我们知道，每个合数都是由若干个质数乘积组成的，故都有一个最小的质因子。（如6=2*3，2就是6的最小质因子）
用这个因子把合数给筛掉，可以达到线性时间。
具体来看一下代码：
void prime_2()
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!p[i]) prime[++ind]=i;
for(int j=1;j<=ind;j++)
{
if(i*prime[j]>n) break;
p[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
代码其实也很简单，查素数表，把i*prime[j]给删掉……
等等，这句话是什么意思？
if(i%prime[j]==0) break;
其实这句话正体现了之前的思想：用最小的质因子把合数给筛掉。
prime是顺序枚举的，当prime[j]第一次是i的倍数时，说明prime[j]是i的最小质因子。
那么prime[j+1]*i一定会被prime[j]乘以某个数给筛掉。
还是举个6的例子吧。当素数枚举到2时6*2=12，把12筛掉，6%2==0，即2是6的最小质因子。那么3就没有必要再枚举了，6*3=18=9*2，2会“利用”9把18筛掉。
为什么一定会被筛掉呢？6=2*3，18=2*3*3，故18一定会被2*某个数筛掉，而没有必再用3*某个数再重复筛一遍。
而枚举到9时，2不是9的最小质因子，所以9*2=18，2一定是18的最小质因子。
这也是线性筛素数效率高的重要原因之一！ （事实上，删掉这句话对最终答案没有影响，但是效率会大大降低）
理解了上面这行代码，基本就掌握了线性筛素数。
时间复杂度自然同算法名称，是$O(n)$啦
3. 例题
3.1 问题
定义$p(x)$为$x$除1外最小的约数，定义$f(n)=\sum_{i=2}^n p(i)$
给定$n$（$2≤n<≤5*10^7$），求$f(n)$的值。
3.2 问题求解
显然这题如果用传统的筛法肯定会TLE，于是可以用线性筛求解。
在原来的线性筛基础上加2行代码就可以了。
1. 如果该数是质数，累加进ans
2. 把筛掉合数的质数累加进ans
3.3 代码
void work()
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!p[i])
{
ans+=i;
prime[++ind]=i; //1.
}
for(int j=1;j<=ind;j++)
{
if(i*prime[j]>n) break;
p[i*prime[j]]=true;
ans+=prime[j]; //2.
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
4. 吐槽
为何要写这个文章呢？
因为这题是一道考题，而蒟蒻的博主并不知道还有这种操作，于是只打了暴力……
最关键的是开数组时多加了俩0，硬生生的超了512M的内存限制……
QAQ