第三章习题
部分证明题未给出答案
1.
表3.4中，零假设是指三种形式的广告对TV的销量没什么影响。而电视广告和收音机广告的P值小说明，原假设是错的，也就是电视广告和收音机广告均对TV的销量有影响；报纸的P值高，说明原假设成立，也就是报纸广告对TV的销量没啥影响。
2.
KNN回归和KNN近分类都是典型的非参数方法。这两者的区别在于，前者的输入和输出均为定量值；而后者的输入和输入和输出均为定性值。
3.
首先，有题目可知下面关系：Y = 50 + 20(gpa) + 0.07(iq) + 35(gender) + 0.01(gpa * iq) - 10 (gpa * gender)
(a) 当IQ和GPA一定的时候，Y的可变量是35*gender-10(gpa*gender).所以当GPA小的时候，无法判断前面变量的正负号，而当GPA足够大的时候，该变量一定是负的。所以当GPA足够大时，男性平均收入高于女性
(b) 直接套公式Y= 50 + 20 * 4 + 0.07 * 110 + 35 + 0.01 (4 * 110) - 10 * 4= 137.1
(c)错误。中文版61页有比较好的解释，实验分层原则规定：如果模型中含有交互项，那么即使主效应的系数的p值不显著，也应该包含在模型中。
4.
(a)一般来说，三次回归的训练RSS会比线性回归的训练RSS小，因为三次回归会对数据进行贴近训练集的拟合。
(b)题目中明确说明该数据的实际模型是线性拟合，所以用三次拟合会产生过拟合，而线性拟合有更好的泛化能力，所以线性回归的测试RSS小。
(c)答案和(a)一样
(d)由于不知道实际情况，所以无法判断。
8.
Auto = read.table("Auto.data.txt", header = T ,na.strings="?")
Auto = na.omit(Auto)
(a)
attach(Auto)
lm.fit = lm(mpg ~ horsepower)
summary(lm.fit)
i.由summary的结果来看，F-statistic很大而p-value很小，说明两者是有相关性的。
ii.由书的54页可知，看拟合效果如何，得看RSE和R-square。书上55页讲的挺清楚，不过目前不知道RSE在这里怎么解释拟合效果。。囧。。R-square为0.6059，这说明Y的变异中能被X解释的部分所占比例有60.59%
iii.由拟合出的参数可知，负相关。
iv.predict(lm.fit, data.frame(horsepower=c(98)), interval="confidence")。结果是24.47，置信区间是(23.97, 24.96)
predict(lm.fit, data.frame(horsepower=c(98)), interval="prediction")。预测区间是(14.81, 34.12)
(b)
plot(horsepower, mpg)
abline(lm.fit)
(c)
par(mfrow=c(2,2))
plot(lm.fit)
9.
(a)
Auto = read.table("Auto.data.txt", header = T ,na.strings="?")
Auto = na.omit(Auto)
pairs(Auto)
(b)
cor(subset(Auto, select=-name))
(c)
lm.fit1 = lm(mpg~.-name, data=Auto)
summary(lm.fit1)
i.有。有f-statistic和p-value值可以判断
ii.由p-value小于0.05可知，displacement, weight, year, and origin这几个预测变量和响应变量有显著关系。
iii.车龄变量的系数是0.75，这说明随着车龄的增加，车子会越来越耗油。
(d)
par(mfrow=c(2,2))
plot(lm.fit1)
plot(predict(lm.fit1), rstudent(lm.fit1))
(e)
lm.fit2 = lm(mpg~cylinders*displacement+displacement*weight)
summary(lm.fit2)
(f)
lm.fit3 = lm(mpg~log(weight)+sqrt(horsepower)+acceleration+I(acceleration^2))
summary(lm.fit3)
par(mfrow=c(2,2))
plot(lm.fit3)
plot(predict(lm.fit3), rstudent(lm.fit3))
lm.fit2<-lm(log(mpg)~cylinders+displacement+horsepower+weight+acceleration+year+origin,data=Auto)
summary(lm.fit2)
par(mfrow=c(2,2))
plot(lm.fit2)
plot(predict(lm.fit2),rstudent(lm.fit2))
10.
(a)
library(ISLR)
summary(Carseats)
attach(Carseats)
lm.fit = lm(Sales~Price+Urban+US)
summary(lm.fit)
(b)
由summary(lm.fit)的结果的p-value和t-statistic可知，Price和US与Sales有关，Urban和Sales无关
(c)
Sales = 13.04 + -0.05*Price - 0.02*Urban + 1.20*US，其中Urban和US为YES时，值为1，否则为0
(d)
Price and US
(e)
由上面分析可知，Urban与Sales无关，所以我们可以去掉这个变量
lm.fit2 = lm(Sales~Price+US)
summary(lm.fit2)
(f)
(a)中Multiple R-squared: 0.239, Adjusted R-squared: 0.234，(e)中Multiple R-squared: 0.239, Adjusted R-squared: 0.235 ，可知两者拟合度差不多，而(e)稍微好点
(g)
confint(lm.fit2)
(h)
plot(predict(lm.fit2), rstudent(lm.fit2))
通过这个命令得到的图，我们可知，stuendtize residuals的范围在-3到3之间，所以没有离群点
par(mfrow=c(2,2))
plot(lm.fit2)
通过这个命令得到的图，我们可知，有一些点远远超过了其他点，故存在高杆点
11.
按照题目要求先生成x和y
set.seed(1)
x = rnorm(100)
y = 2*x + rnorm(100)
(a)
lm.fit = lm(y~x+0)
summary(lm.fit)
由结果可知，p-value接近0可知，原假设不成立
(b)
lm.fit = lm(x~y+0)
summary(lm.fit)
由结果可知，p-value接近0可知，原假设不成立
(c)
这个问题问得让我都觉得奇怪。。。答案是说明x和y确实是有关系么
(d)
由(a)中结果可知，t-value为18.73.而(sqrt(length(x)-1) * sum(x*y)) / (sqrt(sum(x*x) * sum(y*y) - (sum(x*y))^2))计算结果为18.72593
(e)
我们把t(x,y)换成t(y,x)，会得到t(x,y)=t(y,x)
(f)
对比(a)和(b)结果就行
12.
由公式
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\beta&space;=&space;\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum_{i‘=1}^{n}x_{i‘}^{2}}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\beta&space;=&space;\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum_{i‘=1}^{n}x_{i‘}^{2}}" title="\beta = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum_{i‘=1}^{n}x_{i‘}^{2}}" /></a>