强大的异或运算 / 憋错料

什么是异或？

Wikipedia的解释：

在逻辑学中，逻辑算符异或（exclusive or）是对两个运算元的一种逻辑析取类型，符号为 XOR 或 EOR 或 ⊕（编程语言中常用^）。但与一般的逻辑或不同，异或算符的值为真仅当两个运算元中恰有一个的值为真，而另外一个的值为非真。转化为命题，就是：“两者的值不同。”或“有且仅有一个为真。”

定义：

1 ⊕ 1 = 0

0 ⊕ 0 = 0

1 ⊕ 0 = 1

0 ⊕ 1 = 1

真值表：

	Y	B = 0	B = 1
	A = 0	0	1
	A = 1	1	0

表达式：

Y = A’ · B + A · B’

解释：我使用·作为与，我使用+作为或，我使用‘作为否(本来应该使用头上一横，但是太难编辑了，就使用了‘）；

异或有什么特性？

根据定义我们很容易获得异或两个特性：

恒等律：X ⊕ 0 = X 归零律：X ⊕ X = 0

然后我们使用真值表可以证明：

（1）交换律

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A ⊕ B = A‘ · B + A · B‘

B ⊕ A = B‘ · A + B · A‘

因为·与和+或两个操作满足交换律，所以：

A ⊕ B = B ⊕ A

（2）结合律

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(A ⊕ B) ⊕ C

= (A‘ · B + A · B‘) ⊕ C

= (A‘ · B + A · B‘)‘ · C + (A‘ · B + A · B‘) · C ‘

= ((A‘ · B)‘ · (A · B‘)‘)· C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

= ((A + B‘) · (A‘ + B))· C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

= (A · B + A‘ · B‘) · C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

= A · B · C + A‘ · B‘ · C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

你可以使用同样推导方法得出（请允许我偷懒一下，数学公式敲起来不容易 +_+）：

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<span class="line-number">3</span>

A ⊕ (B ⊕ C)

= A · B · C + A‘ · B‘ · C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

证明过程中使用了如下几个方法（·与 +或 ‘否）：

·与 +或交换律：

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<span class="line-number">3</span>

A · B = B · A

A + B = B + A

·与 +或结合律：

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<span class="line-number">2</span>
<span class="line-number">3</span>

(A · B) · C = A · (B · C)

(A + B) + C = A + (B + C)

·与 +或分配律：

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A · (B + C)= A · B + A · C

A + B · C = (A + B) · (A + C)

摩尔定理：

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<span class="line-number">2</span>
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(A · B)‘ = A‘ + B‘

(A + B)‘ = A‘ · B‘

结论：

交换律：A ⊕ B = B ⊕ A 结合律：A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C

有了归零率和结合律，我们就可以轻松证明：

自反：A ⊕ B ⊕ B = A ⊕ 0 = A

可能这些特性会很顺其自然的理解，但是如果你在解决问题的时候，你可能会忘记异或的这些特性，所以适当的应用可以让我们加深对异或的理解；

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A ⊕ 1 = A‘;
A ⊕ 0 = A;
A ⊕ A = 0;
A ⊕ A‘ = 1;

异或有什么神奇之处（应用）？

说明：以下的的异或全部使用符号^

可能你已经被乱七八糟的公式和演算搞的有点烦了，不就是很简单的异或运算吗？还解释的那么复杂，嘿嘿，不要着急，打好了基础，你就站在了巨人的肩膀，让我们开始异或的神奇之旅吧；

（1）快速比较两个值

先让我们来一个简单的问题；判断两个int数字a，b是否相等，你肯定会想到判断a - b == 0，但是如果判断a ^ b == 0效率将会更高，但是为什么效率高呢？就把这个给你当家庭作业吧，考虑下减法是如何实现的；让我们看看ipv6中的比较；

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static inline int ipv6_addr_equal(const struct in6_addr *a1, const struct in6_addr *a2)
    {
    return (((a1->s6_addr32[0] ^ a2->s6_addr32[0]) |
        (a1->s6_addr32[1] ^ a2->s6_addr32[1]) |
        (a1->s6_addr32[2] ^ a2->s6_addr32[2]) |
        (a1->s6_addr32[3] ^ a2->s6_addr32[3])) == 0);
    }

（2）在汇编语言中经常用于将变量置零：`xor a，a`；

（3）我们可以使用`异或`来使某些特定的位翻转，因为不管是0或者是1与1做异或将得到原值的相反值；

0 ^ 1 = 1

1 ^ 1 = 0

例如：翻转10100001的第6位，答案：可以将该数与00100000进行按位异或运算;10100001 ^ 00100000 = 10000001

我们给出一段常用的代码：

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<span class="line-number">3</span>

unsigned int a, b, mask = 1 << 6;
a = 0xB1; // 10100001
b = a ^ mask; /* flip the 6th bit */

（4）我们使用`异或`来判断一个二进制数中1的数量是奇数还是偶数

例如：求10100001中1的数量是奇数还是偶数；答案：1 ^ 0 ^ 1 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 1 = 1,结果为1就是奇数个1，结果为0就是偶数个1；应用：这条性质可用于奇偶校验（Parity Check），比如在串口通信过程中，每个字节的数据都计算一个校验位，数据和校验位一起发送出去，这样接收方可以根据校验位粗略地判断接收到的数据是否有误

（5）校验和恢复

校验和恢复主要利用的了异或的特性：IF a ^ b = c THEN a ^ c = b 应用：一个很好的应用实例是RAID5，使用3块磁盘（A、B、C）组成RAID5阵列，当用户写数据时，将数据分成两部分，分别写到磁盘A和磁盘B，A ^ B的结果写到磁盘C；当读取A的数据时，通过B ^ C可以对A的数据做校验，当A盘出错时，通过B ^ C也可以恢复A盘的数据。

RAID5的实现比上述的描述复杂多了，但是原理就是使用异或，有兴趣的同学看下RAID5

（6）经典题目：不使用其他空间，交换两个值

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a = a ^ b;
b = a ^ b; //a ^ b ^ b = a ^ 0 = a;
a = a ^ b;

这个题目就不用解释了吧，太大众题目了，哈哈，但是非常好的使用的了异或的特性；

（7）面试题：互换二进制数的奇偶位；

题目：写一个宏定义，实现的功能是将一个int型的数的奇偶位互换，例如6的2进制为00000110，(从右向左)第一位与第二位互换，第三位与第四位互换，其余都是0不需要交换，得到00001001，输出应该为9；

思路：我们可以把我们的问题分为三步（难道这也是分治法吗 -。-），第一步，根据原值的偶数位获取到目标值的奇数位，并把不需要的位清零；第二步，根据原值的奇数位获取到目标值的偶数位，并把不需要的位清零；第三步：把上述两个残缺的目标值合并成一个完整的目标值；

代码为：

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//假设 int 占两个字节，16位；
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
#define N(n) ((n<<1)&(0xAAAA))|((n>>1)&(0x5555))
void main(){
    int k = N(6);
    cout << k << endl;
}

解释： 1.为简化说明，我们以4位二进制码为例，0xAAAA 我们用 1010 代替；0x5555 我们用 0101 代替； 2.(n<<1)&(1010) 把n先左移1位，再与1010做与运算，只保留移位之后的偶数位的值，奇数位全为0，实际上是只保留了n的奇数位的值，并把它们交换到了偶数位上。比如 n = 0110 , n<<1 = 1100, (n<<1) & 1010 = 1000 ; 3.(n>>1)&(0101) 把n右移一位，再与 0101 做与运算，只保留移位之后的奇数位的值，偶数位全为0，实际是只保留n
的偶数位的值，并把它们交换到对应的奇数位上。n = 0110； n>>1 = 0011； (n>>1) & 0101 = 0001； 4.最后做或运算（相加），得到1001。

（7）最最常出现的面试题：一个整型数组里除了N个数字之外，其他的数字都出现了两次，找出这N个数字；

比如，从{1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 4, 5}中找出单个的数字： 1

让我们从最简单的，找一个数字开始；

题目：（LeetCode 中通过率最高的一道题） Single Number: Given an array of integers, every element appears twice except for one. Find that single one. Note:Your algorithm should have a linear runtime complexity. Could you implement it without using extra memory? 思路：
拿到这个题目，本能的你会使用排序（数字文字我们常常需要排序），排序后可以来判断是否数字成对出现，思路很明显，但是排序的算法上限是 O(nlogn)，不符合题目要求；

学习了强大的异或，我们可以轻松的使用它的特性来完成这道题目：（1）A ^ A = 0; （2）异或满足交换律、结合律；所有假设有数组：A B C B C D A 使用异或：

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A ^ B ^ C ^ B ^ C ^ D ^ A
= A ^ A ^ B ^ B ^ C ^ C ^ D
= 0 ^ 0 ^ 0 ^ D
= 0 ^ D
= D

是不是很神奇？时间复杂度为O(n)，当然是线性的，空间复杂度O(1)；

代码：

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class Solution {
public:
    int singleNumber(int A[], int n) {
        //特殊情况1,2
        if(n<=0) return -1;
        if(n==1) return A[0];

        int result = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
            result = result ^ A[i];
        }
        return result;
    }
};

接下来让我们增加一些难度：

题目：一个整型数组里除了两个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字？

思路： 第一步：肯定还是像我们上面的解法一样，所有数进行异或，不过最终得到的结果是 a 和 b（假设 a 和 b 是落单的数字）两个值的异或结果 aXORb，没有直接得到 a 和 b 的值；

第二步：想办法得到 a 或者 b，假设 aXORb 为 00001001（F肯定不为0），根君 aXORb 的值我们发现，值为1的位（比如从右向左第一位）表示在此位上 a 和 b 的值不同；所以，根据这个特点，我们找出来所有第一位为1的数进行异或，得到的就是 a 或者 b；

第三步：aXORb = a ^ b，假设我们已经找到了 a，根据异或特性，我们知道，b = aXORb ^ a；这样我们就可以找出 b；所以我们只需要循环两次；

这样我们的时间复杂度是 O(n)，空间复杂度是 O(1) 代码：

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#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;

int getFirstOneBit(int num) //输出 num 的低位中的第一个 1 的位置
{
    return num & ~(num - 1);  // num 与 -num 相与找到
}

void findTwo(int *array, int length){
    int aXORb = 0;
    int firstOneBit = 0;
    int a = 0;
    int b = 0;
    for (int i = 0; i < length; i++) {
        aXORb ^= array[i];
    }
    assert(aXORb != 0); //保证题目要求，有两个single的数字
    firstOneBit = getFirstOneBit(aXORb);
    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        if(array[i] & firstOneBit) {
            a ^= array[i];
        }
    }
    b = aXORb ^ a;
    cout << "a: " << a << endl;
    cout << "b: " << b << endl;
}

int main()
{
    int array1[] = {2, 5, 8, 2, 5, 8, 6, 7};
    findTwo(array1, 8);
    return 0;
}

接下来让我们再增加一些难度：

题目：一个整型数组里除了三个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字？

思路：

第一步：肯定还是像我们上面的解法一样，所有数进行异或，不过最终得到的结果是 a、b 和 c（假设 a、b 和 c 是落单的数字）三个值的异或结果 aXORbXORc，没有直接得到 a、b 和 c 的值；

第二步：想办法得到 a、b 和 c 中的一个，让偶们把问题简化一下；

假设一个数组中有3个不同的数字 a、b 和 c，已知 aXORbXORc = a ^ b ^ c ，求 a、b 和 c 。

思路： 1. 根据题目 aXORbXORc ^ a = b ^ c; aXORbXORc ^ b = a ^ c; aXORbXORc ^ c = a ^ b; 因为：(b ^ c) ^ (a ^ c) ^ (a ^ b) = 0; 所以：(aXORbXORc ^ a) ^ (aXORbXORc ^ b) ^ (aXORbXORc ^ c) = 0;

下一步是关键：假设 X ^ Y ^ Z = 0，则 X Y Z 三个数的低位第一位为1的位置两个相同，一个不同；比如 X: 00001000, Y: 00000100, Z: 00001100 Y和Z的低位第一位都是00000100， X的低位第一位是00001000；这一步可以使用倒推法证明：已知：三个数的低位第一位为1的位置有三种情况，一种就是全相同，一种就是两个不同，一个不同，一种就是三个不同；（1）如果是全相同，则 X ^ Y ^ Z != 0 (1 ^ 1 ^ 1 = 1)，与前提X ^
Y ^ Z = 0矛盾，不成立；（2）如果三个不同，则 X ^ Y ^ Z != 0 (1 ^ 0 ^ 0 = 1)，与前提X ^ Y ^ Z = 0矛盾，不成立；所以结果是：两个不同，一个不同
(aXORbXORc ^ a) ^ (aXORbXORc ^ b) ^ (aXORbXORc ^ c) = 0; 所以三个数(aXORbXORc ^ a)、(aXORbXORc ^ b) 和 (aXORbXORc ^ c) 的低位第一位为1的位置两个相同，一个不同；那么我们获取到这三个数的低位第一位为1的位置后，进行异或并取低位第一位为1的位置，就可以找到三个中“一个不同”的低位第一位为1的位置，假设这个值为 firstOneBit。
遍历这三个数(aXORbXORc ^ a)、(aXORbXORc ^ b) 和 (aXORbXORc ^ c)，如果发现某个数异或 aXORbXORc 等于 firstOneBit，这个数就是“一个不同”的那个数；
找到了一个数，剩下的两个数，我们就可以通过上面的方法找出来；

第三步：完成了第二步的简化题，我们回到我们的问题，我们的问题比简化的问题多了一个成对的干扰数据，我们可以使用异或要去除干扰数据（记住，我们这个题目都是用异或i去除干扰数据的）；

这样我们的时间复杂度还是 O(n)，空间复杂度是 O(1)

代码如下：

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#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;

int getFirstOneBit(int num) //输出 num 的低位中的第一个 1 的位置
{
    return num & ~(num - 1);  // num 与 -num 相与找到
}

void findTwo(int *array, int length){
    int aXORb = 0;
    int firstOneBit = 0;
    int a = 0;
    int b = 0;
    for (int i = 0; i < length; i++) {
        aXORb ^= array[i];
    }
    assert(aXORb != 0); //保证题目要求，有两个single的数字
    firstOneBit = getFirstOneBit(aXORb);
    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        if(array[i] & firstOneBit) {
            a ^= array[i];
        }
    }
    b = aXORb ^ a;
    cout << "a: " << a << endl;
    cout << "b: " << b << endl;
}

int findOne(int *array, int length) {
    int aXORbXORc = 0;
    int c = 0;
    int firstOneBit = 0;
    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        aXORbXORc ^= array[i];
    }

    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        firstOneBit ^= getFirstOneBit(aXORbXORc ^ array[i]); //使用异或会排除掉不相干的元素
    }
    // firstOneBit = getFirstOneBit(a ^ b) ^ getFirstOneBit(a ^ c) ^ getFirstOneBit(b ^ c);

    firstOneBit = getFirstOneBit(firstOneBit); //获取到最低位下面要用

    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        if (getFirstOneBit(aXORbXORc ^ array[i]) == firstOneBit) {
            c ^= array[i]; //使用异或会排除掉不相干的元素
        }
    }
    cout << "c: " << c << endl;
    return c;
}

int main()
{
    int array1[] = {2, 5, 8, 2, 5, 8, 6, 7, 1};
    int c = findOne(array1, 9);
    int array2[] = {2, 5, 8, 2, 5, 8, 6, 7, 1, c}; //为了更好重用函数，我重新定义了一个数组让大家理解
    findTwo(array2, 10);
    return 0;
}

写这篇文档参考了《离散数学与应用》课本，参考了别人多个博客，如果我参考了你的博客，但没有注明出处，请联系告知，有错误的地方，希望可以指出来，也希望大家有更多的补充，非常感谢。

参考：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%BC%82%E6%88%96

http://yjq24.blogbus.com/logs/41863963.html

http://wzw19191.blog.163.com/blog/static/131135470200992610551971/

http://kapok.blog.51cto.com/517862/129941

http://blog.csdn.net/huxian370/article/details/8024416

http://www.cnblogs.com/Ivony/archive/2009/07/23/1529254.html

http://blog.chinaunix.net/uid-20937170-id-3407361.html

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