3675: [Apio2014]序列分割
Time Limit: 40 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 1468 Solved: 607
Description
小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：
1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；
2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。
Input
输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。
第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。
Output
输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。
Sample Input
7 3
4 1 3 4 0 2 3
Sample Output
108
HINT
【样例说明】
在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：
1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置
将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。
2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数
字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+
3)=36分。
3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个
数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=
20分。
经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。
【数据规模与评分】
：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。
斜率优化DP
这里有一个结论：最终得分是只和分成那些序列有关，和分割的先后顺序无关。(将式子稍作化简就可以证明)
然后就可以DP了：
f[i][j]表示到第i个数分成j组的最大得分。
则f[i][j]=max{f[k][j-1]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])}，sum[k]是前缀和。
发现第二维是可以省略的，状态降到一维，节省了空间。
但是时间仍需要优化，考虑斜率优化，单调队列维护下凸包。
具体公式的变换详见笔记本....
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 100005
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,h,t,q[maxn];
ll sum[maxn],f[maxn],g[maxn];
int main()
{
n=read();m=read();
F(i,1,n) sum[i]=sum[i-1]+read();
while (m--)
{
F(i,1,n) g[i]=sum[i]*sum[i]-f[i];
h=1;t=0;
F(i,1,n)
{
while (h<t&&(g[q[t]]-g[q[t-1]])*(sum[i]-sum[q[t]])>=(g[i]-g[q[t]])*(sum[q[t]]-sum[q[t-1]])) t--;
q[++t]=i;
while (h<t&&g[q[h+1]]-g[q[h]]<(sum[q[h+1]]-sum[q[h]])*sum[i]) h++;
f[i]=sum[q[h]]*sum[i]-g[q[h]];
}
}
printf("%lld\n",f[n]);
return 0;
}