1、设 $a, b$ 是二次方程 $x^2 - x + m = 0$ 的两个根, 试求代数式 $a^3 + b^3 + 3(a^3b + ab^3) + 6(a^3b^2 + a^2b^3)$ 的值.
解答：$$\begin{cases}a+b = 1\\ ab = m \end{cases}$$ $$\Rightarrow a^3 + b^3 + 3(a^3b + ab^3) + 6(a^3b^2 + a^2b^3)$$ $$= (a+b)^3 - 3ab(a+b) + 3ab\left(a^2 + b^2\right) + 6a^2b^2(a+b)$$ $$= 1-3m+3m(1-2m) + 6m^2 = 1.$$
2、已知方程 $2x^2 + 3x + 5m = 0$ 一根大于 $1$, 另一根小于 $1$, 求 $m$ 的取值范围.
解答：$$x_1 - 1 >0,\ x_2 - 1 < 0$$ $$\Rightarrow (x_1 - 1)(x_2 - 1) < 0 \Rightarrow x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 < 0$$ $$\Rightarrow \frac{5}{2}m + \frac{3}{2} + 1 < 0 \Rightarrow m < -1.$$
3、已知关于 $x$ 的二次方程 $kx^2 - 12x + 9 = 0$ 有两个不等实根, 求 $k$ 的取值范围.
解答：$$\begin{cases}k\ne0\\ \Delta = 144 - 36k > 0 \end{cases} \Rightarrow k\in(-\infty, 0)\cup(0, 4).$$
4、设 $a, b, c$ 分别为 $\triangle{ABC}$ 的三边, 求证: 关于 $x$ 的二次方程 $b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0$ 无实根.
解答：$$\because\begin{cases}a, b, c > 0\\ a+b-c > 0\\ b+c-a > 0\\ c+a-b > 0 \end{cases}$$ $$\therefore\Delta = \left(b^2 + c^2 - a^2\right)^2 - 4b^2c^2$$ $$= \left(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc\right)\left(b^2 + c^2 - a^2 - 2bc\right)$$ $$= \left[(b+c)^2 - a^2\right]\left[(b-c)^2 - a^2\right]$$ $$= (a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(b-c-a) < 0.$$
5、$b$ 为何值时, 对任何有理数 $a$, 方程 $2x^2 + (a + 1)x - (3a^2 - 4a + b) = 0$ 都有有理根?
解答：$$\Delta_1 = (a+1)^2 + 8\left(3a^2 - 4a + 6\right)$$ $$= 25a^2 - 30a + 1 + 8b$$ 是平方数。$$\Delta_2 = 900 - 100(1+8b) = 0 \Rightarrow b = 1.$$
6、已知方程 $x^2 + (m-1)x + m+1 = 0$ 的两根均为整数, 试求整数 $m$ 的值.
解答：$$\Delta = (m-1)^2 - 4(m+1) = m^2 - 6m - 3 = n^2,\ (n\in\mathbf{N^*})$$ $$\Rightarrow (m-3)^2 - n^2 = 12$$ $$\Rightarrow (m+n-3)(m-n-3) = 12$$ $$\begin{cases}m+n -3 = 6, -2\\ m -n - 3 = 2, -6 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}m = 7, -1\\ n = 2, 2 \end{cases}$$ 因此 $m = 7$ 或 $-1$.
主讲教师:
赵胤, 理学硕士(数学) & 教育硕士(数学), 中国数学奥林匹克一级教练员, 高级中学数学教师资格.