CF235 Let's Play Osu![dp+概率]

题意：

给n个位置，给出1-n上每个位置出现O的概率pi，记分规则如下，连续的x个O记为x^2分，求和，如 XXOOOXOXOOXX得分为

求得分的期望

思考一下，我们能比较容易地得出O（n^2）的方法

令dp[i]为前i的得分期望

那么

显然这题

考虑一下变换记分的方式

我们有

那么记分方式就变为

一段连续的O，有多少对O×2+O的个数

一对O可以贡献2分

现在得分来源变为两个地方

一对O（2分），和单个O（1分）

我们知道

期望=概率×收益

我们找到每个对O的概率×2

再找到单个O×出现概率

求和即是期望得分

对于某一个点i

有(1,i) (2,i) (3,i) (4,i)...(i-1,i)这些对O，每个概率即是从左到右连乘，比如

令这些概率和为dp[i],即

这样我们有递推关系

对i+1点来说，

dp求和即是所有对O出现的概率之和×2

+

单个O出现的概率×1

求得的即是期望分数

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int NN=111111;
double f[NN];
double dp[NN];
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("/home/rainto96/in.txt","r",stdin);
#endif

	int n;scanf("%d",&n);
	double sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		//cin>>f[i];
		scanf("%lf",&f[i]);
		sum+=f[i];
	}
	double ansum=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		dp[i]=(dp[i-1]+f[i-1])*f[i];
		ansum+=dp[i];
	}
	printf("%f\n",ansum*2.0+sum);
}

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