大臣的旅费(树的直径)

问题描述

很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。

J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式

输入的第一行包含一个整数n，表示包括首都在内的T王国的城市数

城市从1开始依次编号，1号城市为首都。

接下来n-1行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是n-1条）

每行三个整数Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之间有一条高速路，长度为Di千米。

输出格式

输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。

样例输入1

5

1 2 2

1 3 1

2 4 5

2 5 4

样例输出1

135

输出格式

大臣J从城市4到城市5要花费135的路费。

解法：求树的两个节点最长距离，即树的直径。

树的直径是指树的最长简单路。求法: 两遍BFS :先任选一个起点BFS找到最长路的终点，再从终点进行BFS，则第二次BFS找到的最长路即为树的直径；

原理: 设起点为u,第一次BFS（DFS）找到的终点v一定是树的直径的一个端点

证明: 1) 如果u 是直径上的点，则v显然是直径的终点(因为如果v不是的话，则必定存在另一个点w使得u到w的距离更长，则于BFS找到了v矛盾)

2) 如果u不是直径上的点，则u到v必然于树的直径相交(反证),那么交点到v 必然就是直径的后半段了

所以v一定是直径的一个端点，所以从v进行BFS（DFS）得到的一定是直径长度

本题数组要开得足够大

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
#define MAX 1<<30
#define maxn 1000100
struct Node{
    int v,len;
    Node(int v_,int len_){
        v=v_;
        len=len_;
    }
};
vector <Node> G[maxn];
int n;
int vis[maxn];
int dis[maxn];
void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    int m=G[u].size();
    for(int i=0;i<m;i++){
        int v=G[u][i].v;
        if(!vis[v]){
            dis[v]=dis[u]+G[u][i].len;
            dfs(v);
        }
    }
}
int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            G[i].clear();
        for(int i=1;i<n;i++){
            int x,y,len;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&len);
            G[x].push_back(Node(y,len));
            G[y].push_back(Node(x,len));
        }
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(dis,0,sizeof(dis));

        dfs(1);
        int key=1;
        int maxlen=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(maxlen<dis[i]){
                maxlen=dis[i];
                key=i;
            }
        }
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(dis,0,sizeof(dis));
        dfs(key);
        maxlen=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(maxlen<dis[i]){
                maxlen=dis[i];
                key=i;
            }
        }
        printf("%d\n",(maxlen*maxlen+maxlen)/2+10*maxlen);
    }
    return 0;
}