bzoj2705【SDOI2012】Longge的问题

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

Source

round1 day1

欧拉函数的应用

令s[k]表示gcd(i,n)=k的i的个数，则ans=∑(k*s[k])。

因为gcd(i,n)=k，所以gcd(i/k,n/k)=1，所以s[k]=phi(n/k)，其中phi(i)表示i的欧拉函数。

枚举n的因数k，计算欧拉函数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans;
inline ll phi(ll x)
{
	ll ret=x,tmp=floor(sqrt(x));
	F(i,2,tmp) if (x%i==0)
	{
		ret=ret/i*(i-1);
		while (x%i==0) x/=i;
	}
	if (x>1) ret=ret/x*(x-1);
	return ret;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	ll tmp=floor(sqrt(n));
	F(i,1,tmp) if (n%i==0)
	{
		ans+=phi(n/i)*i;
		if (i*i!=tmp) ans+=phi(i)*(n/i);
	}
	printf("%lld\n",ans);
}