hdu 4549 M斐波拉契 （矩阵快速幂 + 费马小定理）

Problem Description
M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input
输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output
对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input
0 1 0
6 10 2

Sample Output
0
60

从网上找了3段为什么是1e9+6的解释：

A^B %C 这题的C是质素，而且A，C是互质的。
所以直接A^(B%(C-1)) %C

比较一般的结论是 A^B %C=A^( B%phi(C)+phi(C) ) %C B>=phi(C)

求a^fib(n)%mod,mod=10^9+7，由于mod是一个大质数，根据费马小定理，a^(mod-1)=1(mod m)，所以a^x有一个循环节，这个循环节为10^9+6

模数之所以为1000000006是因为根据费马小定理可得A^euler(M) = 1 （mod M）,其中M为素数。 所以A^N = A^（N % euler(M)）（mod M），而1000000007为素数，euler（1000000007）= 1000000006，所以模数是1000000006。

 1 # include <iostream>
 2 # include <cstdio>
 3 # include <algorithm>
 4 # include <map>
 5 # include <cmath>
 6 # define LL long long
 7 using namespace std ;
 8
 9 const int MOD = 1000000007 ;
10
11 struct Matrix
12 {
13     LL mat[2][2];
14 };
15
16 Matrix mul(Matrix a,Matrix b) //矩阵乘法
17 {
18     Matrix c;
19     for(int i=0;i<2;i++)
20         for(int j=0;j<2;j++)
21         {
22             c.mat[i][j]=0;
23             for(int k=0;k<2;k++)
24             {
25                 c.mat[i][j]=(c.mat[i][j] + a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%(MOD-1);  //费马小定理
26             }
27         }
28     return c;
29 }
30 Matrix pow_M(Matrix a,int k)  //矩阵快速幂
31 {
32     Matrix ans;
33     memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
34     for (int i=0;i<2;i++)
35         ans.mat[i][i]=1;
36     Matrix temp=a;
37     while(k)
38     {
39         if(k&1)ans=mul(ans,temp);
40         temp=mul(temp,temp);
41         k>>=1;
42     }
43     return ans;
44 }
45
46 LL pow_m(LL p, LL k)
47 {
48
49     LL ans = 1;
50     while(k) {
51         if (k & 1) ans = ans * p % MOD;
52         p = (LL)p*p % MOD;
53         k >>= 1;
54     }
55     return ans;
56 }
57
58 int main ()
59 {
60    // freopen("in.txt","r",stdin) ;
61     int a,b,n;
62     Matrix t ;
63     t.mat[0][0] = 0 ;
64     t.mat[0][1] = t.mat[1][0] = t.mat[1][1] = 1 ;
65     while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)!=EOF)
66     {
67         Matrix p=pow_M(t,n);
68         int ans=(pow_m(a,p.mat[0][0])*pow_m(b,p.mat[1][0]))%MOD;
69         printf("%d\n",ans);
70     }
71
72
73     return 0 ;
74 }