一、计算下列极限 (每小题7分,共28分)
1.$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty } \sqrt{n+\sqrt{n+2\sqrt{n}}}-\sqrt{n}$.
2.$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}$.
3.已知$\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{ax}=\lim\limits_{x\to 0} \arccos\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sin x}$,求$a$.
4.$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0}\left(e^{x}+x^{2}+3\sin x\right)^{\frac{1}{2x}}$.
二、计算积分(每小题8分,共48分)
1.$\displaystyle \int\cos \left(\ln x\right)dx$;
2.求$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{4}}dx$;
3.计算积分$\displaystyle I=\int\limits_{L}\left| y \right|ds$,其中$L$是为球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$与平面$x=y$的交线.
4.计算积分$\displaystyle I=\iint\limits_{\Sigma} \left(x+y+z\right)^{2}dS$,其中$\Sigma$是球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$;
5.设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内有连续导函数,计算积分$\displaystyle \int\limits_{L}\frac{1+y^{2}f(xy)}{y}dx+\frac{x}{y^{2}}[y^{2}f(xy)-1]dy$,其中$L$为上半平面$(y\ge0)$内以$ \left(2,3\right)$为起点到$ \left(3,2\right)$为终点的有向分段光滑曲线;
6.计算$\displaystyle I=\iint\limits_{\Sigma}\frac{xdydz+z^{2}dxdy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$,其中$\Sigma$为下半球面:$z=-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$的上侧.
三、(本题10分) 设$z=f(x,y)$具有二阶连续偏导数,且$f_{y}\not=0$.证明:对任意实数$c,f(x,y)=c$为一条直线的充要条件是$$(f_{y})^{2}f_{xx}-2f_{x}f_{y}f_{xy}+(f_{x})^{2}f_{yy}=0$$
四、(本题12分) 函数$\displaystyle x\sin\frac{1}{x}$和$\displaystyle \sin \frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上是否一致连续?并给出证明.
五、(本题12分) 设偶函数$f(x)$的二阶导数在$x=0$的某邻域内连续且$f(0)=1,f‘‘(0)=2$.证明:级数$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$绝对收敛.
六、(本题10分) 函数$f:[0,1]\to (0,1)$在$[0,1]$可导,且$f‘(x)\not=1$,证明:方程$f(x)=x$在$(0,1)$内存在唯一的实根.
七、(本题15分) 设$f(x)$在$[0,1]$上可积,在$x=1$连续.证明:$$\lim\limits_{n\to \infty}n\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx=f(1)$$
八、(本题15分) 设函数$f(x,y)$在区域$\displaystyle D:x^{2}+y^{2}\le 1$上有连续二阶偏导数,且$\displaystyle \frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-(x^{2}+y^{2}})$.证明:$$\iint\limits_{D}\left(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}\right)dxdy=\frac{\pi}{2e}$$