上节分析了O(n^2)的算法，这节就分析O(nlgn)的算法-归并，快速和堆排序。
一：综述
O(nlgn) 的算法可以分为两大类，两者所用的技术差别较大。归并和快速排序采用的是分治策略，这两者相当于一个对称的过程，一个是自顶向上合并子问题，另一个则自上向下分解子问题。而堆排序利用堆这一数据结构元素间的特殊关系来排序一个序列，另外采用二叉树的方式组织数据使其效率大大提高。
二：分治策略排序算法
1.为什么使用分治？
在上节算法的分析中，不管是冒泡。选择还是插入都不适用于大规模的数据，因为数据一大，数据间比较，移动的次数也增大，这导致运行时间大大增加。自然而然就想到如何把大的问题分解成小问题，如果小问题计算代价小且和原问题相似，同时合并的代价也小。那用分治策略是优于直接对大问题进行处理的。而在排序中，一个大数据不断的分解这个处理过程代价小，直到只剩一个元素的时候，问题规模最小只要简单处理，合并过程虽然需要较多处理，但代价也小。所以将分治用于排序主要是解决三个处理过程，怎么将大的数据分成小数据？怎么对小数据进行处理？怎么将处理结果合并成最后的结果？
2.如何实现归并排序
归并排序：
怎么分解？归并排序是将n规模的序列分成n/2规模（n为偶数情况，奇数也类似），n/2分为n/4,......。直到序列长度为1，这个小问题直接求解，1长度的序列就已经排好序了。怎么合并？归并排序的合并过程需要较多处理，我们就专门分析一下这个过程。依照算法导论，我们也利用牌堆进行分析，假设只有两张牌，比较，小的放上面，大的放下面。如果是两堆牌呢？这两堆牌是通过前面合并得到，它们各自都已经排好序了。同样的比较牌堆的第一张，小的取出来放到另一堆去，然后再比较两牌堆顶的牌继续不断的把小的取出。当某堆牌取空时，将另一堆剩下的直接放到第三堆的底下，因为它们都排好序了，所以剩下的肯定比第三堆的都大。这个过程最多执行n次，比如当两堆牌刚好牌数一样，并且大小都是交替的。
#include <iostream>
const int len=10;
using namespace std;
void merge(int *a,int p,int q,int r)
{
int n1=q-p+1,n2=r-q;
int *L=new int[n1]();
int *R=new int[n2]();
for (int i=0;i<n1;i++)
{
L[i]=a[p+i];
}
for (int j=0;j<n2;j++)
{
R[j]=a[q+j+1];
}
int i=0,j=0,k=p;
while (i<n1&&j<n2)
{
if (L[i]<=R[j])
{
a[k++]=L[i++];
}
else
{
a[k++]=R[j++];
}
}
while (i<n1)
{
a[k++]=L[i++];
}
while (j<n2)
{
a[k++]=R[j++];
}
delete [] R;
delete [] L;
}
int main()
{
int a[len]={2,4,5,7,10,1,2,3,6,9};
merge(a,0,4,9);
for(int i=0;i<len;i++) cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
}
merge代码分析，传入的是指向数组的指针，和(p,q),(q+1,r)间的两个已经排好序的序列如，主程序所举的例子2,4,5,7,10。1,2,3,6,9。在子函数里，先新建两个动态数组来存放这两个序列。然后如果任一序列未到底时，就比较，并赋值给a。一个序列到底了，就将另一个未到底的直接复制到a下。
综上我们完成了合并的过程，分解呢？分解就是要确定q的值，一般我们将q设置为
,它能够将A[p,r]分成n/2向下和向上取整个元素。（把p,r分别为偶数，奇数情况考虑下就可以证明）。如何一直分解直到只剩一个元素时排序并返回呢？这就要利用递归的方法了，函数不断的调用自身，分解成越来越小的子问题。
#include <iostream>
const int len=5;
using namespace std;
void merge(int *a,int p,int q,int r)
{
int n1=q-p+1,n2=r-q;
int *L=new int[n1]();
int *R=new int[n2]();
for (int i=0;i<n1;i++)
{
L[i]=a[p+i];
}
for (int j=0;j<n2;j++)
{
R[j]=a[q+j+1];
}
int i=0,j=0,k=p;
while (i<n1&&j<n2)
{
if (L[i]<=R[j])
{
a[k++]=L[i++];
}
else
{
a[k++]=R[j++];
}
}
while (i<n1)
{
a[k++]=L[i++];
}
while (j<n2)
{
a[k++]=R[j++];
}
delete [] R;
delete [] L;
}
void mergesort(int *a,int p,int r)
{
if (p<r)
{
int q=(p+r)/2;
mergesort(a,p,q);
mergesort(a,q+1,r);
merge(a,p,q,r);
}
}
int main()
{
int a[len]={25,15,4,30,7};
mergesort(a,0,4);
for(int i=0;i<len;i++) cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
} //main end
程序分析:
上图分析了程序的递归调用流程，我们就根据上图来分析，首先调用mergesort(a,0,4);，0<4，所以计算q=2.调用mergesort(a,0,2);0<2,q=1,调用mergesort(a,0,1);0<1,q=0,调用mergesort(a,0,0);0==0,递归返回，执行mergesort(a,p,q)的下一条语句mergesort(a,q+1,r)这时q=0，r=1。调用mergesort(a,1,1)，1==1，调用返回，执行mergesort(a,q+1,r)的下一条语句merge(a,p,q,r)。此时p=0，q=0，r=1.调用merge(a,0,0,1)。这时返回至mergesort(a,0,2)，q=1，调用mergesort(a,q+1,r)，即mergesort(a,2,2)，返回，调用merge(a,0,1,2)。于是左边这一半排序完成，开始右边的排序，其中q=2，r=4，调用mergesort(a,q+1,r)，即mergesort(a,3,4)。同样的在这一半中左边调用mergesort(a,p,q)，右边调用mergesort(a,q+1,r)，merge，merge后就对数组排好序了。
递归的过程确实容易搞混淆的，在程序里是顺序的，而不是并行的两个排序过程。另外变量间的变化也是容易弄错的。
复杂度分析：
MERGE函数的复杂度为c •n (n为元素个数, c为移动一个元素, 比较一次所花费的工作量)。T(n)= 0, n=1 (只一个元素的数组无需排序)，T(n)= 2 T(n/2) + c • n = , n>1。将T(n)展开，就的下图。
3.如何实现快速排序
如果说归并是从底不断排序好，不断合并，到顶时使序列最终成为有序，那么快速，就是从顶一直向下使序列不断有序，当到底时，序列也就成为有序了的。其中有序是确定一个值Aq把序列分为两个部分，一部分的所有值都比Aq大，另一部分都比Aq小。
数组A[p…r]被划分为两个（可能空）子数组A[p…q-1]和A[p+1..r]，使得A[p…q-1]中每个元素都小于或等于A[q]，A[q+1..r]中的元素大于等于A[q]。下标q在这个划分过程中进行计算；这个数组的划分过程很重要，通过交换来维护两个子区域的性质。
#include <iostream>
const int len=8;
using namespace std;
int partition(int *a,int p,int r)
{
int x=a[r],i=p-1,temp=0;
for (int j=p;j<r-1;j++)
{
if (a[j]<x)
{
i++;
temp=a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=temp;
}
}
temp=a[i+1];
a[i+1]=a[r];
a[r]=temp;
return i+1;
}
int main()
{
int p,a[len]={2,8,7,1,3,5,6,4};
p=partition(a,0,7);
for(int i=0;i<len;i++) cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
} //main end
如上图和程序，首先初始化x称为主元为最后一个元素a[r],i为序列开始之前的一个值，然后j从p开始的r-1，判断其是否小于等于主元，若满足则i加1，并交换a[i]和a[j]。这是为了满足当元素属于下面各个范围时，符合一定性质 1.p<=k<=i,a[k]<=x; 2. i+1<=k<=j-1,a[k]>x; 3.k=r,a[k]=x;初始时，p和i间，i+1和j-1间没有元素，成立，进入循环，假设第一个元素大于主元，j加1，什么都不做，符合上面的性质。如第一个元素小于主元，i加1，交换a[i]和a[j]，先扩大i的范围，再将小于主元的元素交换进来。
整个快速排序的过程，也类似于归并排序，分解，解决，合并。分解就是确定主元在序列中位置，解决即递归用于两个数组，合并这无需，因为递归到最后，数组都排好序了。
#include <iostream>
const int len=8;
using namespace std;
int partition(int *a,int p,int r)
{
int x=a[r],i=p-1,temp=0;
for (int j=p;j<=r-1;j++)
{
if (a[j]<x)
{
i++;
temp=a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=temp;
}
}
temp=a[i+1];
a[i+1]=a[r];
a[r]=temp;
return i+1;
}
void quicksort(int *a,int p,int r)
{
int q;
if (p<r)
{
q=partition(a,p,r);
quicksort(a,p,q-1);
quicksort(a,q+1,r);
}
}
int main()
{
int a[len]={2,8,7,1,3,5,6,4};
quicksort(a,0,7);
for(int i=0;i<len;i++) cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
} //main end
算法分析（略）
算法导论专题一--排序算法(2)