| Euclid Problem |
The Problem
From Euclid it is known that for any positive integers A and B there exist such integers X and Y that AX+BY=D, where D is the greatest common divisor
of A and B. The problem is to find for given A and B corresponding X, Y and D.
The Input
The input will consist of a set of lines with the integer numbers A and B, separated with space (A,B<1000000001).
The Output
For each input line the output line should consist of three integers X, Y and D, separated with space. If there are several such X and Y, you should output that pair
for which |X|+|Y| is the minimal (primarily) and X<=Y (secondarily).
Sample Input
4 6 17 17
Sample Output
-1 1 2 0 1 17
题目大意：
已知 A 和 B ， 问你 A*X+B*Y=GCD(A,B)的 X,Y解。
解题思路：
非常裸的拓展欧几里德算法。
拓展欧几里德算法证明过程：
因为 B*X1+A%B*Y1=GCD(B,A%B) =GCD(A,B)=A*X+B*Y
所以 B*X1+(A-A/B*B)*Y1=A*X+B*Y
A*Y1+B*(X1-A/B*Y1)=A*X+B*Y
于是： X=Y1,Y=(X1-A/B*Y1)
因此，得出（ A*X+B*Y=GCD(A,B)的 X,Y解）结论：
当B=0时，GCD(A,B)=A，很明显，X=1,Y=0是解
当B!=0时，只需递归， 求B*X1+A%B*Y1=GCD(B,A%B) 的解，求出X1,Y1的解的数值之后，自然可以求出X,Y。
解题代码：
#include <iostream>
using namespace std;
int x,y;
int extend_gcd(int a,int b){
if(b==0){
x=1;y=0;
return a;
}else{
int ans=extend_gcd(b,a%b);
int tmp=y;
y=x-a/b*y;
x=tmp;
return ans;
}
}
int main(){
int a,b;
while(cin>>a>>b){
int d=extend_gcd(a,b);
cout<<x<<" "<<y<<" "<<d<<endl;
}
return 0;
}
补充：
gcd函数的基本性质：
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)
再补充欧几里德算法证明 why gcd(a,b)=gcd(b,a%b) ???
证明：
第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc
第二步：a可以表示成a = kb + r，r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r），
又因为a=kb+r，则r = a mod b,所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b）得证
uva 10104 Euclid Problem （数论-扩展欧几里德）