复值函数的积分是这样定义的.设有向曲线$\gamma:z=z(t),t\in[\alpha,\beta]$,并且$a=z(\alpha)$为起点,$b=z(\beta)$为终点.现沿着$\gamma$方向任取分点
\[a=a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}=b\]
考虑和式
$$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta_{k},\xi_{k}\in[a_{k-1},a_{k}]$$
当分点无限增多,而
$$\max\{\Delta_{k}\}\to0$$
时,如果$\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}$存在且等于$I$,称$f(z)$沿$\gamma$可积,记做
$$I=\int_{\gamma}f(z){\rm
d}z.$$
如果设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$,则
\[\int_{\gamma}f(z){\rm
d}z=\int_{\gamma}(u+iv)({\rm d}x+i{\rm d}y)\]
\[=\int_{\gamma}u{\rm
d}x-v{\rm d}y+i\int_{\gamma}v{\rm d}x+u{\rm d}y\]
如同实函数一样,同样的我们用外微分形式的观点来看复值函数的积分.为此我们将给定函数$f(z)$视作$z,\overline{z}$的函数且二者独立.那么
\[{\rm
d}\overline{z}\wedge{\rm d}z=({\rm d}x-i{\rm d}y)\wedge({\rm d}x+i{\rm
d}y)\]
\[=2i{\rm
d}\sigma\]
这里${\rm
d}\sigma$为二维的面积元素.并且我们再定义算子
\[\partial
f=\frac{\partial f}{\partial z}{\rm d}z,\overline{\partial}f=\frac{\partial
f}{\partial\overline{z}}{\rm d}\overline{z}\]
并且设$\omega$是一个复的外微分形式,定义
\[{\rm
d}\omega=\partial\omega+\overline{\partial}\omega\]
显然${\rm
dd}\omega\equiv0$.据此我们便可得到复形式的Green公式:设$\omega=\omega_{1}{\rm
d}z+\omega_{2}{\rm d}\overline{z}$为区域$\Omega$上的一次外微分形式,则
\[\int_{\partial\Omega}\omega=\int_{\Omega}{\rm
d}\omega\]
他的证明也是容易的,只需设$\omega_{1}=f_{1}+ig_{1},\omega_{2}=f_{2}+ig_{2}$,其中$f,g$都是实函数,只需计算${\rm
d}\omega$即可.
据此我们便可得到所谓的Pompeiu公式：若$\Omega\subset\mathbb
C$为有界区域,且有$C^1$边界条件,设$f(z)\in C^1(\overline{\Omega})$,那么我们有
\[f(z)=\frac{1}{2\pi
i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm
d}\zeta-\frac{1}{\pi}\int_{\Omega}\frac{\partial
f(\zeta)}{\partial\overline{\zeta}}\cdot\frac{{\rm
d}\sigma}{\zeta-z}\]
我们来证明一下,取$z$的邻域$B(z,\varepsilon)\subset
\Omega$,据Green公式有
\[\int_{\partial\Omega-\partial
B(z,\varepsilon)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta=\int_{\Omega\setminus
B(z,\varepsilon)}{\rm d}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm
d}\zeta\right)\]
我们来计算外微分形式${\rm
d}\left(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta\right)$
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