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Description
兵库县位于日本列岛的中央位置，北临日本海，南面濑户内海直通太平洋，中央部位是森林和山地，与拥有关西机场的大阪府比邻而居，是关西地区面积最大的县，是集经济和文化于一体的一大地区，是日本西部门户，海陆空交通设施发达。濑户内海沿岸气候温暖，多晴天，有日本少见的贸易良港神户港所在的神户市和曾是豪族城邑“城下町”的姬路市等大城市，还有以疗养地而闻名的六甲山地等。
兵库县官方也大力发展旅游，为了方便，他们在县内的N个旅游景点上建立了n-1条观光道，构成了一棵图论中的树。同时他们推出了M条观光线路，每条线路由两个节点x和y指定，经过的旅游景点就是树上x到y的唯一路径上的点。保证一条路径只出现一次。
你和你的朋友打算前往兵库县旅游，但旅行社还没有告知你们最终选择的观光线路是哪一条（假设是线路A）。这时候你得到了一个消息：在兵库北有一群丧心病狂的香菜蜜，他们已经选定了一条观光线路（假设是线路B），对这条路线上的所有景点都释放了【精神污染】。这个计划还有可能影响其他的线路，比如有四个景点1-2-3-4，而【精神污染】的路径是1-4，那么1-3,2-4,1-2等路径也被视为被完全污染了。
现在你想知道的是，假设随便选择两条不同的路径A和B，存在一条路径使得如果这条路径被污染，另一条路径也被污染的概率。换句话说，一条路径被另一条路径包含的概率。
Input
第一行两个整数N,M
接下来N-1行，每行两个数a,b，表示A和B之间有一条观光道。
接下来M行，每行两个数x,y，表示一条旅游线路。
Output
所求的概率，以最简分数形式输出。
Sample Input
5 3
1 2
2 3
3 4
2 5
3 5
2 5
1 4
Sample Output
1/3
样例解释
可以选择的路径对有(1,2),(1,3),(2,3)，只有路径1完全覆盖路径2。
HINT
100%的数据满足：N,M<=100000
Source
辣鸡破题耗我时间颓我青春
解法一：dfs序+主席树
“如果路径A包含于路径B 那么就有A的两端点在路径B上”
主席树以dfs序为“时间轴”维护dfs序区间上的信息（可持久化树树？）
树上的主席树和序列上的主席树差不多一个意思，只是提取区间时候从root[后]-root[前]变成了root[x]-root[LCA]
搞出树的DFS序，对于每条链(x,y)，在x的dfs序位置差分标记y的子树区间。查询每条链(x,y)时，利用主席树提取出(x,LCA(x,y))和(y,LCA(x,y))这两段链上面的标记，就可以知道有多少链被当前的链包含。
每条链统计答案的时候要减去自己。
概率就是有污染的道路对的数量除以全部道路对的数量。
我猜没人能看懂上面说了啥，还是左转popoQQQ大爷的讲解吧http://blog.csdn.net/PoPoQQQ/article/details/43122821
破题卡内存丧心病狂。内存计算经验不足（你根本就懒得算吧喂），卡了一页MLE。
真是对不起学姐号的AC率啊。
1 /*by SilverN*/
2 #include<iostream>
3 #include<algorithm>
4 #include<cstring>
5 #include<cstdio>
6 #include<cmath>
7 #include<vector>
8 #define LL long long
9 using namespace std;
10 const int mxn=100005;
11 int read(){
12 int x=0,f=1;char ch=getchar();
13 while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
14 while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
15 return x*f;
16 }
17 struct edge{
18 int v,nxt;
19 }e[mxn<<1];
20 int hd[mxn],mct=0;
21 void add_edge(int u,int v){
22 e[++mct].v=v;e[mct].nxt=hd[u];hd[u]=mct;return;
23 }
24 //
25 int fa[mxn],sz[mxn],top[mxn],son[mxn];
26 int ind[mxn],out[mxn],dtime=0;
27 int dep[mxn];
28 void DFS1(int u){
29 dep[u]=dep[fa[u]]+1;
30 sz[u]=1;
31 for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt){
32 if(e[i].v==fa[u])continue;
33 fa[e[i].v]=u;
34 DFS1(e[i].v);
35 sz[u]+=sz[e[i].v];
36 if(sz[e[i].v]>sz[son[u]])son[u]=e[i].v;
37 }
38 return;
39 }
40 void DFS2(int u,int tp){
41 ind[u]=++dtime;
42 top[u]=tp;
43 if(son[u]){
44 DFS2(son[u],tp);
45 for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt)
46 if(e[i].v!=fa[u] && e[i].v!=son[u])DFS2(e[i].v,e[i].v);
47 }
48 out[u]=++dtime;
49 return;
50 }
51 int LCA(int x,int y){
52 while(top[x]!=top[y]){
53 if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
54 x=fa[top[x]];
55 }
56 return dep[x]<dep[y]?x:y;
57 }
58 //
59 vector<int>ch[mxn];
60 struct node{
61 int l,r;
62 int smm;
63 }t[mxn*40];
64 int rot[mxn*8],sct=0;
65 void insert(int p,short v,int l,int r,int y,int &rt){
66 rt=++sct;
67 t[rt]=t[y];
68 if(l==r){t[rt].smm+=v;return;}
69 int mid=(l+r)>>1;
70 if(p<=mid) insert(p,v,l,mid,t[y].l,t[rt].l);
71 else insert(p,v,mid+1,r,t[y].r,t[rt].r);
72 t[rt].smm=t[t[rt].l].smm+t[t[rt].r].smm;
73 return;
74 }
75 int query(int L,int R,int l,int r,int R1,int R2,int R3,int R4){
76 if(L<=l && r<=R){
77 return t[R1].smm-t[R3].smm-t[R4].smm+t[R2].smm;
78 //左端点+右端点-LCA-LCA以上的链
79 }
80 int mid=(l+r)>>1;
81 int res=0;
82 if(L<=mid)res+=query(L,R,l,mid,t[R1].l,t[R2].l,t[R3].l,t[R4].l);
83 if(R>mid)res+=query(L,R,mid+1,r,t[R1].r,t[R2].r,t[R3].r,t[R4].r);
84 return res;
85 }
86 int n,m,ed;
87 void DFS3(int u){
88 int tmp=rot[u];
89 rot[u]=rot[fa[u]];
90 for(int i=0;i<ch[u].size();i++){
91 int v=ch[u][i];
92 insert(ind[v],1,1,ed,rot[u],tmp);
93 rot[u]=tmp;
94 insert(out[v],-1,1,ed,rot[u],tmp);
95 rot[u]=tmp;
96 }
97 for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt){
98 if(e[i].v==fa[u])continue;
99 DFS3(e[i].v);
100 }
101 return;
102 }
103 //
104 struct mach{
105 int x,y;
106 bool operator < (const mach &b)const{
107 return (x==b.x && y<b.y)||(x<b.x);
108 }
109 }a[mxn];
110 LL gcd(LL a,LL b){return (!b)?a:gcd(b,a%b);}
111 int main(){
112 int i,j,u,v;
113 n=read();m=read();
114 for(i=1;i<n;i++){
115 u=read();v=read();
116 add_edge(u,v);add_edge(v,u);
117 }
118 DFS1(1);DFS2(1,1);
119 for(i=1;i<=m;i++){
120 a[i].x=read();a[i].y=read();
121 ch[a[i].x].push_back(a[i].y);
122 }
123 ed=dtime;
124 sort(a+1,a+m+1);
125 DFS3(1);
126 LL up=0,down=(LL)m*(m-1)/2;
127 for(i=1;i<=m;i++){
128 int x=a[i].x,y=a[i].y;
129 int tmp=LCA(x,y);
130 up+=query(ind[tmp],ind[x],1,ed,rot[x],rot[y],rot[tmp],rot[fa[tmp]]);
131 up+=query(ind[tmp],ind[y],1,ed,rot[x],rot[y],rot[tmp],rot[fa[tmp]]);
132 up-=query(ind[tmp],ind[tmp],1,ed,rot[x],rot[y],rot[tmp],rot[fa[tmp]]);
133 --up;//不包含自身
134 }
135 for(i=1;i<=m;i++)
136 for(j=i;j<=m && a[j].x==a[i].x && a[j].y==a[i].y;j++){
137 up-=(LL)(j-i)*(j-i-1)/2;
138 }
139 LL tmp=gcd(up,down);
140 up/=tmp;down/=tmp;
141 printf("%lld/%lld\n",up,down);
142 return 0;
143 }
一
解法二：dfs序+扫描线
我猜这个肯定是出题人想的正解，毕竟这么写不会被卡内存
链的包含无非两种情况：
如果链长成这样，如果一条链包含了(x,y)，那么它的起点肯定在x的子树里，终点肯定在y的子树里（起终点可以反过来）
如果链长成这样，如果一条链包含了(x,y)，那么它的一端肯定在x的子树内，另一端在y除了x所在子树以外的其他任意子树内。
“y的通向x所在子树的子结点”这个可以用和LCA相同的方法找到
让我们看看可以怎么利用这个性质：
如果一条链(x,y)被别的链包含，那么它的起点一定在对应的dfs序区间内，终点也一定在对应的dfs序区间内。
把起点区间看成x轴，终点区间看成y轴，问题转化成了——对于每个点对(dfn[x],dfn[y])，查找有多少覆盖了它的矩形。
扫描线大法好
1 /*by SilverN*/
2 #include<iostream>
3 #include<algorithm>
4 #include<cstring>
5 #include<cstdio>
6 #include<cmath>
7 #include<vector>
8 #define LL long long
9 using namespace std;
10 const int mxn=120010;
11 int read(){
12 int x=0,f=1;char ch=getchar();
13 while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
14 while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
15 return x*f;
16 }
17 struct edge{
18 int v,nxt;
19 }e[mxn<<1];
20 int hd[mxn],mct=0;
21 void add_edge(int u,int v){
22 e[++mct].v=v;e[mct].nxt=hd[u];hd[u]=mct;return;
23 }
24 //
25 struct Line{
26 int x,y1,y2,tp;
27 bool operator < (const Line &b)const{return x<b.x;}
28 }line[mxn*6];
29 int lct=0;
30 void addline(int x1,int x2,int y1,int y2){
31 if(y1>y2)return;
32 line[++lct]=(Line){x1,y1,y2,1};
33 line[++lct]=(Line){x2+1,y1,y2,-1};
34 line[++lct]=(Line){y1,x1,x2,1};
35 line[++lct]=(Line){y2+1,x1,x2,-1};
36 return;
37 }
38 int fa[mxn][19];
39 int ind[mxn],out[mxn],dep[mxn],dtime=0;
40 void DFS1(int u,int ff){
41 ind[u]=++dtime;
42 dep[u]=dep[ff]+1;
43 for(int i=1;i<19;i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
44 for(int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt){
45 v=e[i].v;
46 if(v==ff)continue;
47 fa[v][0]=u;
48 DFS1(v,u);
49 }
50 out[u]=dtime;
51 return;
52 }
53 int LCA_second(int x,int y){
54 if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
55 for(int i=18;i>=0;i--)
56 if(dep[fa[x][i]]>dep[y])x=fa[x][i];
57 return x;
58 }
59 //
60 struct node{int smm;}t[mxn<<2];
61 #define ls rt<<1
62 #define rs rt<<1|1
63 void update(int L,int R,int v,int l,int r,int rt){
64 if(L<=l && r<=R){t[rt].smm+=v;return;}
65 int mid=(l+r)>>1;
66 if(L<=mid)update(L,R,v,l,mid,ls);
67 if(R>mid)update(L,R,v,mid+1,r,rs);
68 return;
69 }
70 int query(int p,int l,int r,int rt){
71 if(l==r)return t[rt].smm;
72 int mid=(l+r)>>1;
73 if(p<=mid)return t[rt].smm+query(p,l,mid,ls);
74 else return t[rt].smm+query(p,mid+1,r,rs);
75 }
76 #undef ls
77 #undef rs
78 //
79 struct Query{
80 int x,y;
81 bool operator < (const Query &b)const{
82 return (x==b.x && y<b.y)||(x<b.x);
83 }
84 }q[mxn];
85 int n,m;
86 LL gcd(LL a,LL b){return (!b)?a:gcd(b,a%b);}
87 int main(){
88 int i,j,u,v;
89 n=read();m=read();
90 for(i=1;i<n;i++){
91 u=read();v=read();
92 add_edge(u,v);
93 add_edge(v,u);
94 }
95 DFS1(1,0);
96 int x,y;
97 bool flag=0;
98 for(i=1;i<=m;i++){
99 x=read();y=read();
100 if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
101 q[i].x=ind[x];q[i].y=ind[y];
102 if(x==y){
103 addline(ind[y],out[y],1,ind[y]);
104 addline(ind[y],out[y],out[y]+1,n);
105 continue;
106 }
107 if(ind[x]<=ind[y] && out[y]<=out[x]){//y在x的子树中
108 int tmp=LCA_second(x,y);
109 addline(ind[y],out[y],1,ind[tmp]-1);
110 addline(ind[y],out[y],out[tmp]+1,n);
111 }
112 else{
113 addline(ind[x],out[x],ind[y],out[y]);
114 }
115 }
116 LL up=0,down=(LL)m*(m-1)/2;
117 sort(line+1,line+lct+1);
118 sort(q+1,q+m+1);
119 int now=1;
120 for(i=1;i<=m;i++){
121 while(now<=lct && line[now].x<=q[i].x){
122 update(line[now].y1,line[now].y2,line[now].tp,1,n,1);
123 now++;
124 }
125 int tmp=query(q[i].y,1,n,1);
126 up+=tmp;
127 --up;
128 }
129 for(i=1;i<=m;i=j)
130 for(j=i;j<=m && q[i].x==q[j].x && q[i].y==q[j].y;j++){
131 up-=(LL)(j-i)*(j-i-1)/2;
132 }
133 LL tmp=gcd(up,down);
134 up/=tmp;down/=tmp;
135 printf("%lld/%lld\n",up,down);
136 return 0;
137 }
时间： 2024-10-05 17:47:36