以前写的几个数论模板，整整吧，反正数论这么弱貌似只会gcd的样子...
来，先来gcd
1.
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int x,int y)
{
return (x*y)/gcd(x,y);
}
int main()
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d %d",gcd(a,b),lcm(a,b));
return 0;
}
gcd与lcm
扩展欧几里得
求解 x，y的方法的理解
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里得原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
2.ex-gcd
/*
扩展欧几里得
ax%b==1 -> ax-by==1
求不定方程的一组解 使x为最小正整数解
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int x,y,gcd;
int Extend(int a,int b)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
gcd=a;
}
else
{
Extend(b,a%b);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
}
}
int main()
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
Extend(a,-b);
x=x*(1/gcd);
if(x<0)while(x<0)x=x+b;
else while(x-b>0)x=x-b;
printf("%d\n",x);
return 0;
}
codevs 同余方程
质因数分解
这个吗 一般算法的复杂度是够用的
当然如果筛素数的话会快 而且对于一个质数 可以直接返回
当然如果对n!每个数质因数分解的话那筛素数就快多了
当然我们还有别的方法 忘记叫什么名字了 咨询的数竞的孩子
n!里p的个数(p为素数)=n/p+n/(p*p)+n/(p*p*p)+n/(p*p*p*p)...(p*p*..)<=n
这样就快得多了 有时排列组合可以用到这个
3.
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int a[10000];
int main()
{
scanf("%d",&n);
printf("%d=",n);
int cnt=0;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
while (n%i==0&&n)
{
a[cnt++]=i;
n/=i;
}
}
for (int i=0;i<cnt-1;i++)
{
printf("%d*",a[i]);
}
printf("%d\n",a[cnt-1]);
return 0;
}
分解单个数
4.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define maxn 5000010
#define mod 100000007
#define ll long long
using namespace std;
ll n,prime[maxn/10],c[maxn/10],num,ans=1;
bool f[maxn];
void Prime()
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(f[i]==0)prime[++num]=i;
for(int j=1;j<=num;j++){
if(i*prime[j]>maxn-10)break;
f[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
void Solve(){
for(int i=1;i<=num;i++){
ll P=prime[i];
if(P>n)break;
while(n>=P){
c[i]+=n/P;P*=prime[i];
}
if(c[i]) printf("%d ",c[i]);
}
}
int main()
{
cin>>n;
Prime();Solve();
return 0;
}
阶乘分解
快速幂
5.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define mod 1000000007
using namespace std;
int x,y;
int main()
{
scanf("%d%d",&x,&y);
int r=1;
while(y)
{
if(y&1) r=(long long)r*x%mod;//y&1 pan duan zhe yi wei shi fou shi yi
y>>=1;x=(long long)x*x%mod;
}
printf("%d",r%mod);
return 0;
}
快速幂取模
欧拉函数
定义：设n为正整数 不大于n的且与n互素的整数个数记为f(n)
求欧拉函数的方法
首先暴力好打 慢
f(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)... pi为n的质因子
那就要分解质因数了 好办
应用嘛 还是比较好使的
求逆元
定义应用
a^(f(p))%p=1
6.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans;
ll init()
{
ll x=0;char s=getchar();
while(s<‘0‘||s>‘9‘)s=getchar();
while(s>=‘0‘&&s<=‘9‘){x=x*10+s-‘0‘;s=getchar();}
return x;
}
int main()
{
while(1)
{
n=init();
if(n==0)break;
ans=n;
for(ll i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
while(n%i==0)n/=i;
ans=ans/i*(i-1);
}
if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
printf("%ld\n",ans);
}
return 0;
}
欧拉函数
素数
7.
#include<cstdio>
#define maxn 22000
using namespace std;
int l,r,cnt,num,prime[maxn];
bool f[maxn];
void Oprime(){
for(int i=2;i<=maxn;i++){
if(f[i]==0)prime[++num]=i;
for(int j=1;j<=num;j++){
if(i*prime[j]>maxn)break;
f[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&l,&r);
Oprime();
for(int i=1;i<=num;i++){
if(prime[i]>=l&&prime[i]<=r)cnt++;
if(prime[i]>r)break;
}
printf("%d\n",cnt);
return 0;
}
欧拉筛
素数判定
(1)费马小定理
复杂度(次数*logn)
若p为素数 则a^(p-1)%p=1
但是如果翻过来就不一定正确
优异类数叫做卡迈克尔数就是合数
但上面那个概率是很大的所以嘛
多生成几个a试试 一般出错的概率还是很小的
当然如果考试那天人品XX的话就怨不得谁了
8.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#define ll long long
using namespace std;
ll p,flag;
ll mul(ll a,ll b)
{
a%=p;b%=p;
ll r=0;
while(b)
{
if(b&1)
{
b--;r+=a;r%=p;
}
a<<=1;a%=p;b>>=1;
}
return r%p;
}
ll qm(ll a,ll b)
{
ll r=1;
while(b)
{
if(b&1) r=mul(r,a);
b>>=1; a=mul(a,a);
}
return r;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>p;
if(p==1)
{
printf("No\n");
return 0;
}
if(p==2)
{
printf("Yes\n");
return 0;
}
srand(time(0));
for(int i=1;i<=15;i++)
{
int a=rand()%(p-1)+1;
int x=qm(a,p-1);
if(x!=1)
{
flag=1;
break;
}
}
if(flag)
{
printf("No");
return 0;
}
else
{
printf("Yes");
return 0;
}
return 0;
}
费马小定理
(2)Miller Rabin(摘抄峰峰的，我不会)
复杂度(logn)好像还有个常熟 不过无伤大雅
再说说误判概率 经过k轮这玩意 将合数误判为素数的概率是(1/4)^k
素数误判为合数的概率是0 一般进行个10轮15轮就好了
要是这样的概率都给碰上了那就没啥可说的了....
下面说说算法过程
首先 2特判一下子 对于剩下的奇素数
有 fermat a^(p-1)%p=1
避免出错同时加速这个算法
另一个定理 若x&1,且x*x%p==1 则有x=1或x=-1(即x==p-1)
把p-1写成p-1=m*2^j 然后呢 j次测试 若不满足上面那个东西 直接肯定p不是prime
每次都乘回来 最后又得到了p-1 再来一次fermat就ok了
9.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define ll long long
using namespace std;
ll p;
ll mul(ll a,ll b){
a%=p;b%=p;
ll r=0;
while(b){
if(b&1){
b--;r+=a;r%=p;
}
a<<=1;a%=p;b>>=1;
}
return r%p;
}
ll qm(ll a,ll b){
ll r=1;
while(b){
if(b&1)r=mul(r,a);
b>>=1;a=mul(a,a);
}
return r;
}
bool Miller_Rabin(){
if(p<=2)return 1;
if(p%2==0)return 0;
ll x,y,m,k=0,T=15,a;
m=p-1;
while(m%2==0){
k++;m>>=1;
}
while(T--){
a=rand()%(p-1)+1;
x=qm(a,m);
for(ll i=1;i<=k;i++){
y=mul(x,x);
if(y==1&&x!=1&&x!=p-1)return 0;
x=y;
}
if(x!=1)return 0;
}
return 1;
}
int main()
{
cin>>p;
if(Miller_Rabin())printf("Yes\n");
else printf("No\n");
return 0;
}
Miller Rabin
表示还很弱很弱很弱，不会的还有很多很多很多.......