一、相关概念

1.1  机器数与真值

　　·机器数  计算机中存储的数据都是带符号的二进制数，例如：5 → 0000 0101 ， -5 → 1000 0101  此类数值称之为机器数。

　　·真值　  为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。如：1000 0101的形式值为133，但它实际表示的值为-5，-5称之为真值。

1.2  原、反、补码

　　·原码  符号位加上真值的绝对值。如+5和-5的原码分别为：0000 0101和1000 0101

　　·反码  正数的反码是它本身，负数的反码是将它原码的符号位不变，其余各位按位取反。  如+5和-5的反码分别为：0000 0101和1111 1010

　　·补码  正数的补码是它本身，负数的补码是将它原码的符号位不变，其余各位按位取反再加1（其实就是反码+1）。如+5和-5分补码分别为：0000 0101和1111 1011

二、为何要用原、反、补码

2.1  符号位的问题

　　我们已知正数的原、反、补码都是相同的，但对于负数来说确是完全不同。在处理加减乘除等运算时，若是人脑来进行，我们可以将符号位抽象出来然后直接操作真值即可。但若交由计算机完成，若还需提前去识别符号位，则会大大增加计算机基础电路的复杂度，故需要考虑带着符号位进行计算。

考虑一个1-1的问题：

·原码计算：1-1 = 1+（-1）= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [1000 0010]原 =-2   结果显然不对

·反码计算：1-1 = 1+（-1）

　　　　　　  = [0000 0001]原 + [1000 0001]原

　　　　　　  = [0000 0001]反 + [1111 1110]反

　　　　　　  = [1111 1111]反

　　　　　　  = [1000 0000]原 = -0

　　从结果来看，真值部分是对的，但0前面出现负号是无意义的。反而会引入1000 0000的机器码表示数值0，从而与0000 0000表示的0引起冲突，故而补码码应运而生。

·补码计算：1-1 = 1+（-1）

　　　　　　  = [0000 0001]原 + [1000 0001]原

　　　　　　  = [0000 0001]补 + [1111 1111]补

　　　　　　  = [0000 0000]补

　　　　　　  = [0000 0000]原 = 0

　　可见，使用补码运算解决了符号位带入的问题和0的符号问题。值得注意的是，在补码的运算结果中，[1000 0000]补 代表的数值为-128，但由于该补码使用的是之前-0的补码，故-128是没有原码和反码表示的。有此也可以引申出，8位二进制值的原码或反码的表示范围为[-127,127]，而补码的则为[-128,127]。

2.2  总结

　　·数字电路的CPU中仅实现了加法器，为实现减法器，减法都是通过转换为加法进行计算的。

　　·负数在计算机中是以补码的形式存储的，计算过程也是用补码实现的。

三、反码与取反

　　初学时容易将两个概念混淆，前面已经提到，计算机中数据的存储和计算都是以反码的形式进行的。故取反这一过程也是围绕补码展开的，与反码这一概念并无关系。

看一个+5和-5取反的过程：

　　+5 = [0000 0101]原 → [0000 0101]补 →按位取反→ [1111 1010]补 → [1000 0110]原 = -6

　　-5 = [1000 0101]原 → [1111 1011]补 →按位取反→ [0000 0100]补 → [0000 0100]原 = 4

可见，对一个数取反都是先求得该数的补码，对补码进行按位取反，然后对结果再求补码即可。快速计算方法：对数a取反，结果为-（a+1）。

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