URAL 2052 Physical Education(数位dp)



题意：给出一个自然数数列，按照每个数的所有数位之和作为第一关键字，每个数的大小作为第二关键字升序排序，位置不变的数的个数是多少。

思路：首先可以证明，对于数位和为i的所有数，最多只可能有一个位置不变，这个可以直观的猜想一下，因为如果有一个数字位置不变，那么对于排序后的序列，这个数后面的所有数的增长速度都大于自然数序列的增长速度，所以不可能再有第二个。

假设我们当前求出了数位和为i的区间为[l, r]，令query(a, b)表示1到a这段区间内数位和为b的数的个数，用su[i-1]表示数位和为1到i-1的数的个数。

那么对于区间[l, l+query(l-1, i) -1]，一定不存在位置不变的数，因为这些数都小于l，

那么我们就把区间缩小为了[su[i-1]+query(l-1, i)+1, su[i-1]+query(r, i)],因为至多只存在一个位置不变的数，所以这个区间肯定可以一直缩小下去，这个递归来做就可以。

递归的出口是l==r且su[i-1]+query(l-1, i)+1==su[i-1]+query(r,i)，这时返回1，否则返回0。也就是说，这时l位置的这个数就是位置不变的一个数。

现在问题转化为了求query，对于这个问题，我们用一个辅助的数组dp[][][]帮助我们计算,dp[i][j][k]表示一个第i位为j数字和为k的数有多少,并且第i位是这个数的最高位。

对于query，每次如果当前位的数字比给定的n的这一位的数字小，那么后面可以随便选，这样一来就可以解决query的问题，具体见代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#define eps 1e-6
#define LL long long
using namespace std;

//const int maxn = 100 + 5;
//const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, dp[20][20][100], su[100];
void init() {
	for(int i = 0; i <= 9; i++) dp[1][i][i] = 1;
	for(int i = 2; i <= 10; i++) {
		for(int j = 0; j <= 9; j++) {
			for(int t = 0; t <= 81; t++) {
				for(int k = 0; k <= 9; k++)
					if(t>=j) dp[i][j][t] += dp[i-1][k][t-j];
			}
		}
	}
}
int query(int r, int digit_sum) {
	int digit[20], len=0;
	int tmp = r;
	while(tmp) {
		digit[++len] = tmp % 10;
		tmp /= 10;
	}
	int cur_sum = 0;
	int ans = 0;
	for(int i = len; i >= 1; i--) {
		for(int j = 0; j < digit[i]; j++) {
			if(digit_sum-j-cur_sum >= 0)
				ans += dp[i][j][digit_sum-cur_sum];
		}
		cur_sum += digit[i];
	}
	if(cur_sum == digit_sum) ans++;
	return ans;
}
void init_su() {
	for(int i = 1; i <= 81; i++)
		su[i] = su[i-1] + query(n, i);
}
int solve(int l, int r, int digit_sum) {
	int left_border = su[digit_sum-1] + query(l-1, digit_sum)+1;
	int right_border = su[digit_sum-1] + query(r, digit_sum);
	if(left_border > right_border) return 0;
	if(left_border==right_border) {
		if(su[digit_sum-1]+query(left_border-1,digit_sum)+1 == su[digit_sum-1] + query(right_border, digit_sum)) return 1;
		return 0;
	}
	return solve(left_border, right_border, digit_sum);
}
int main() {
	//freopen("input.txt", "r", stdin);
	init();
	while(cin >> n) {
		init_su();
		//for(int i = 1; i <= 9; i++) cout << i << ": " << query(n, i) << endl;
		int ans = 0;
		for(int i = 1; i <= 81; i++) ans += solve(su[i-1]+1, su[i], i);
		//for(int i = 1; i <= 10; i++) cout << i << ": " << solve(su[i-1]+1, su[i], i) << endl;
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}

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