P4449 于神之怒加强版

题目大意：

求
\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k\]

首先很套路地推出
\[ret=\sum\limits_{T=1}^{n}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum\limits_{t|T}t^k\mu(\frac{T}{t})\]
然后我们发现，前面直接除法分块就好了，关键是后面怎么办

我们设
\[f(T)=\sum\limits_{t|T}t^k\mu(\frac{T}{t})\]
很容易发现，它是一个积性函数可以线性筛，关键在于处理$prime|i$的情况

考虑莫比乌斯函数性质：对于$T$的某个质因子$p$的最高次$p^x$，有贡献的部分其实只有当$t=p^x$和$t=p^{x-1}$时，因为其他情况下$\mu$的值都为$0$

所以质因子$p$对答案的贡献是$(p^{kx}-p^{k*(x-1)})*others$

提出$p^{k*(x-1)}$得到$(p^k-1)*p^{k*(x-1)}*others$

类比推出对于$p$最高次为$p^{x-1}$的某个数字，其贡献为$(p^k-1)*p^{k*(x-2)}*others$

所以得出：当$prime|i$时，$f(i*prime)=f(i)*prime^k$

然后就可以线性筛预处理，除法分块回答啦(???)

原文地址：https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/12020247.html

时间： 2024-10-11 11:11:26

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