JZYZOJ 1629 找分子

题目描述

给定\(n(2≤n≤10^9)\)值，要求\(x\)、\(y\)均为正整数，且\(x<y\)，并且满足\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}\).编程统计有多少对这样的\(x\)和\(y\)。

输入格式

一个整数n

输出格式

一个整数，表示相应的方法数是多少。

样例输入

6

样例输出

4

思路

先把原方程化简
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n} \Rightarrow \frac{xy}{x+y} = \frac{1}{n} \Rightarrow xy = nx + ny \Rightarrow xy-nx-ny = 0 \Rightarrow xy - nx -ny + n^2 = n^2 \Rightarrow n^2 = (n-x)(n-y)\)

所以原方程等价于\(n^2 = (n-x)(n-y)\)

令\(a = n-x , b = n-y\)且\(a < b\)

则\(n^2=ab\)

不难发现\(a\)和\(b\)是\(n^2\)的一组因子

如果\(n^2\)有\(k\)个因子，就有\(\frac{k}{2}\)组解，对应了\(\frac{k}{2}\)组\(x\)和\(y\)

我们把\(n\)进行质因数分解得$n=a_{1}^{p_{1}}\times a_{2}^{p_{2}}\times a_{3}^{p_{3}}\times \dots a_{m}^{p_{m}} $

则\(n\)有\(\Pi_{i=1}^{m}(p_{i}+1)\)个因子

同样把\(n^2\)进行质因数分解得$n^{2}=a_{1}^{2p_{1}}\times a_{2}^{2p_{2}}\times a_{3}^{2p_{3}}\times \dots a_{m}^{2p_{m}} $

则\(n^2\)有\(\Pi_{i=1}^{m}(2p_{i}+1)\)个因子

所以\(result =\frac{k}{2}=\frac{1}{2}\Pi_{i=1}^{m}(2p_{i}+1)\)

coding

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,result = 1;

int main()
{
    cin >> n;
    for(register int i = 2;i * i <= n;i ++)
    {
        if(n % i) continue;
        register int cnt = 0;
        while(n % i == 0) cnt ++, n /= i;
        result *= cnt * 2  + 1;
    }
    if(n > 1) result *= 3;
    result >>= 1;
    cout << result << endl;
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/Mark-X/p/11699437.html