代数不等式与超越不等式

前言

超越不等式

如果不等式的两边至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式。如\(2^x>x-1\)，包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等。

备注：代数函数¹；超越函数²；代数不等式³；

超越不等式求解思路

例1求解关于\(x\)的不等式\((2^x)-3\cdot 2^x+2<0\)；

分析：换元法，令\(2^x=t>0\)，则原超越不等式可以等价转化为代数不等式，不过是带有条件的，比如\(t>0\);

转化为\(t^2-3t+2<0(t>0)\)，用求解代数不等式的相应方法求解，

解得\(1<t<2\)，即\(1<2^x<2\)，解得\(0<x<1\)，

故所求的解集为\((0，1)\)。

例2求解关于\(x\)的不等式 \(2^x\geqslant 3-x\)

分析：不能使用代数不等式的求解方法，故想到数形结合的思路，

在同一个坐标系中做出两个函数\(y=2^x\)和\(y=3-x\)的图像，其交点往往比较特殊；

由图像可知，不等式的解集为\([1，+\infty)\)。

引申：上述例子中的图像交点往往比较特殊，如果变为一般的情形呢？

例3求解关于\(x\)的不等式\(2^x\geqslant 4-x\)

分析：绝大多数的题目的交点坐标往往比较特殊，我们都可以轻松解决；但不是所有题目都这样，比如本题目；

此时我们还是有办法的，就是用到零点存在性定理和二分法，

令函数\(f(x)=2^x+x-4\)，则\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=2>0\)，故函数的零点\(x_0\)一定满足\(x_0\in (1，2)\)，能不能将有解区间再压缩呢？

用二分法，求解\(f(1.5)=2^{1.5}+1.5-4\approx 0.3>0\)，故有解区间压缩为\((1，1.5)\)之间，

如果还嫌不够，继续求解\(f(1.25)=2^{1.25}+1.25-4\approx 0.1\)，\(2^1=2^{\frac{4}{4}}<2^{1.25}=2^{\frac{5}{4}}<2^{\frac{6}{4}}=2\sqrt{2}\)；

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