卡特兰数问题

堆栈的出栈种数：

一般思路：

在这里堆栈有一个特点，对于任意一个数字，比之小的数字在其之前出栈，所以对于任意一个数字k最后一个出栈的模型为：

在k入栈之前，小于k的k-1个数字入栈并出栈，在k入栈之后，其余n-k个数字入栈并出栈，最后k出栈。so:

每一个k最后出栈的种数为：f(k)=f(k-1)*f(n-k)  然后求和即可。

建模：（与买票等等一个模型）

对于每一次进栈或者50块相当于数字‘1’，出栈或者100相当于数字‘0’，则要求对于2n个数组包含n个1，且任意前n个数字中1的个数比0的个数多，则通过算出所有排列，减去不合要求的种数即可：

合适：从2n个数字中选个n个位置放置1：C(2n,n)

不合适：对于奇数位2m+1，前2m+1位第一次出现0比1多，即m+1个0和m个1，（1.）则后面2n-2m-1个数字当中有n-m-1个0，以及n-m个1，（注意了）把1，0互换，则后面有n-m-1个1，以及n-m个0，则总体有n+1个0，和n-1个1,每个不合要求的排列对于一个由n+1个0，n-1个1对于的排列

对于任意一个由n+1个0以及n-1个1构成的2n个数字组成的任意一个排列都存在从第2m+1位开始第一次出现0比1多的现象，对于后面的n-m个0，与n-m-1个1互换，（变！）变成不合要求的的排列（n个1，n个0），总结：两者一一对应！

不合适的为：C(2n,n-1)

则：种类为f(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)  卡特兰数