正规方程的可逆性

对于某些线性回归问题,正规方程方法可能更加简单高效. 正规方程推导过程如下: 梯度下降法和正规方程的比较: 总结: 只要特征数量并不是特别大,对于线性回归问题正规方程是一个比梯度下降算法更快的替代算法.但是当特征数量非常多的时候或者模型更复杂的时候(比如logistic regression等),正规方程就不再适用了.而梯度下降方法都可以使用.另外,当XTX是奇异矩阵(也称退化矩阵,不可逆)时,正规方程也不能使用,但是这种情况很少会发生(m≤n或者存在有依赖关系的特征).

一.相关概念 1.梯度下降 由于Z= X*theta - y是列向量,所以Z'*Z就是平方和连加,就是2范数:如果Z是矩阵呢,那么Z'*Z的对角线就是Z矩阵每列的2范数. 2.正规方程(Normal Equation) θ = (XTX)-1XTY. 二.代码实现 2104,3,399900 1600,3,329900 2400,3,369000 1416,2,232000 3000,4,539900 1985,4,299900 1534,3,314900 1427,3,198999 1380,

上一次我们分享了多变量线性回归模型(Linear Regression with Multiple Variables),这一次我们来讨论一下多项式回归(Polynomial Regression) 和正规方程(Normal Equation).(我们还是讨论房价预测的问题) 多项式回归 有时候,线性回归并不适用于所有全部的数据,我们需要曲线来适应我们的数据,比如一个二次方模型: 或者一个三次方模型: 这两个模型我们在坐标系绘图如下: 通常情况,我们需要先观察数据然后再去决定使用怎样的模型来处理

%第一列为 size of House(feet^2),第二列为 number of bedroom,第三列为 price of House 1 2104,3,399900 2 1600,3,329900 3 2400,3,369000 4 1416,2,232000 5 3000,4,539900 6 1985,4,299900 7 1534,3,314900 8 1427,3,198999 9 1380,3,212000 10 1494,3,242500 11 1940,4,239999 1

梯度下降提供了一种最小化J的方法.让我们讨论第二种方法,这一次显式地执行最小化,而不用迭代算法.在"方程"的方法,我们将最大限度地减少J通过明确其衍生物相对于θJ的,并使其为零.这使我们能够在没有迭代的情况下找到最佳θ.下面给出正规方程公式. 正规方程不需要进行特征缩放. 下面是梯度下降和正规方程的比较: 用正规方程计算,时间复杂度为O(n^3).因此,如果我们有大量的特征,正常的方程将是缓慢的.实际上,当n超过10000时,可能是从正常解决方案到迭代过程的好时机.

一 线性模型 给定由n个属性描述的列向量\(f(\mathbf{x})={(x^{(1)};x^{(2)};...;x^{(n)})}\),其中 \(x^{(j)}\)是\(\textbf{x}\)在第\(j\)个属性的取值.线性模型即为通过对属性进行线性组合的函数,即 \[f(\mathbf{x})=w_0+w_1x^{(1)}+...+w_nx^{(n)}\] 写成向量形式如下: \[f(\textbf{x})=\mathbf{w}^\mathrm{T}\mathbf{x}\] 其中列向量\

1.对某些线性回归问题,正规方程给出了更好的解决方法,来求得参数θ,截止到目前我们一直使用线性回归算法是梯度下降法,为了最小化代价函数J(θ),我们使用梯度下降多次迭代,来收敛得到全局的最小值.与此相反的正规方程提供了一种求θ的解析方法,我们不需要再去运用迭代的方法,而是可以直接一次性的求解θ最优值. (1)例1:假设有个简单的代价函数J(θ),它是实数θ的函数,所以现在假设θ是一个标量或者一个实数值,只是一个数字,不是矢量,假设代价函数J是这个实参数θ的二次函数,所以J(θ)看起来是这样的:

再谈最小平方问题 有了矩阵求导工具后,我们可以寻找最小化损失函数的参数值的闭式解(closed-form solution).首先我们先把这个损失函数表达成向量的形式. 把每个训练样本放在矩阵一行,可以得到一个\(m \times n\) 设计矩阵\(X\) (design matrix) ,即 \[ X=\left[ \begin{array}{c}{ -\left(x^{(1)}\right)^{T}-} \\ {-\left(x^{(2)}\right)^{T}-} \\ {\vdots}

系列博客,原文在笔者所维护的github上:https://aka.ms/beginnerAI, 点击star加星不要吝啬,星越多笔者越努力. 5.1 正规方程解法 英文名是 Normal Equations. 对于线性回归问题,除了前面提到的最小二乘法可以解决一元线性回归的问题外,也可以解决多元线性回归问题. 对于多元线性回归,可以用正规方程来解决,也就是得到一个数学上的解析解.它可以解决下面这个公式描述的问题: \[y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_kx_k \tag{