hihocoder(1097) 最小生成树Prim

图论一直是自己算法中最最最柔弱的部分，主要是，当年数据结构的课程，后面就去打酱油了，后来时间又都花在了电赛上，平时用的相关部又少，这一部分就更弱了，总是懒得捡起来，但是现在可是没退路了，开始好好复习这一部分。

Prim算法是求解无向图最小生成树的经典算法，和Dijkstra算法类似，但是Prim算法每次获取一个新的顶点后，都有一个聚合的过程，而Dijkstra没有，并且Dijkstra的对象是有向图的单源最短路径，所以这两个算法起始本质上是不同的，然而他们的思想是一致的：贪心

刚好借着hihocoder的这个题实现一下这个算法，刚开始的时候拿STL的set和vector做的，但是由于没有用辅助数组，也没有用到聚合的思想，于是傻傻的写了个O(n3)的算法，直接超时了，用例测时，3300多ms，后来醒悟过来，明明记得Prim是O(n2)的算法，于是果断丢掉set和vector，重新试实现了下，添加辅助数组low。

总结：

Prim算法时间复杂度O(n2)，适合于边比较密集的Graph。另外一个算法Kruskal的算法O(eloge)，适合于边比较稀疏的情况。

Impl：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <climits>
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 6 using namespace std;
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 8 int w[1010][10010];
 9 int low[10010];
10 bool visited[10010];
11 int n;
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13 int prim()
14 {
15     int pos,min,res = 0;
16     int left = n;
17
18     //选取任意点作为开始节点，初始化辅助数组
19     visited[0] = true; pos = 0;
20     for (int i = 0; i < n; ++i){
21         if (i != pos) low[i] = w[pos][i];
22     }
23
24     for (int i = 1; i < n; ++i)
25     {
26         min = INT_MAX;
27         for (int j = 0; j < n; ++j) //找出收缩后的最优节点
28             if (!visited[j] && min>low[j])
29                 min = low[j], pos = j;
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31         res += min;
32         visited[pos] = true;
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34         for (int j = 0; j < n; ++j) //一个收缩的过程,刷新辅助数组
35             if (!visited[j] && low[j]>w[pos][j])
36                 low[j] = w[pos][j];
37     }
38
39     return res;
40 }
41
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43 int main()
44 {
45     scanf("%d", &n);
46     for (int i = 0; i < n; ++i)
47         for (int j = 0; j < n; ++j)
48             scanf("%d", &w[i][j]);
49     memset(visited, 0, sizeof(visited));
50
51     printf("%d\n", prim());
52
53     return 0;
54 }