1. 问题(来自Rosen的《初等数论及其应用》第6版P99第5题)
证明完全平方数的最后两个十进制数字（个位和十位）一定是下列数对之一：{00, e1, e4, 25, o6, e9}
注：e = even number, o = prime number, 0也为偶数
2. 验证一下
| n | n2 | 末尾数对类型 |
| 0 | 0 | 00 |
| 1 | 1 | e1 |
| 2 | 4 | e4 |
| 3 | 9 | e9 |
| 4 | 16 | e4 |
| 5 | 25 | 25 |
| 6 | 36 | o6 |
| 7 | 49 | e9 |
| 8 | 64 | e4 |
| 9 | 81 | e1 |
3. 证明
3.1 思路
要证明n2的个位和十位的数值，简单的做法是将其表示出来，看是否满足一些规律
n2 = n * n
根据我们计算乘法的方法：
设n2 = an…a2a1 (an ∈ {0, 1, …, 9})
放在百位以上的数据已经不影响个位和十位了
设f(x) = x的个位和十位的数列
可知n2的十位和个位f(n2) = f(a1a1 + 10*a2a1 + 10*a2a1)
= f(a12 + 10*(2a2a1))
∴n2个位 = a12 的个位，n2的十位 = (2a2a1) + (a12 的十位)
| a1 | a12 + 10*(2a2a1) | 2a2（十位） | 末尾数对类型 |
| 0 | 0 | 0 | 00 |
| 1 | 10*(0+2a2) + 1 | 2a2 = e | e1 |
| 2 | 10*(0+4a2) + 4 | 4a2 = e | e4 |
| 3 | 10*(0+6a2) + 9 | 6a2 = e | e9 |
| 4 | 10*(1+8a2) + 6 | 1+8a2 = o | e4 |
| 5 | 10*(2+10a2) + 5 | 2+10a2 = 2 | 25 |
| 6 | 10*(3+12a2) + 6 | 3+12a2 = o | o6 |
| 7 | 10*(4+14a2) + 9 | 4+14a2 = e | e9 |
| 8 | 10*(6+16a2) + 4 | 6+16a2 = e | e4 |
| 9 | 10*(8+18a2) + 1 | 8+18a2 = e | e1 |
∴对于所有的a1，不论a2的值是什么，f(n2)都成立，得证
4. 推论
根据第3部分的证明，我们还可以知道：
1> 只要n的个位 = 5, 则n2个位和十位 = 25，反之也成立
2> 只要n的个位 = 0, 则n2个位和十位 = 00，反之也成立
3> 只要n的个位 = 6, 则n2个位和十位 = o6，反之也成立
4> 不论a2的值是什么，n2个位和十位数列和a12一样，即n2个位和十位数列类型只和n个位相关
时间： 2024-10-11 07:38:53