分类问题也可以用降维来理解,比如一个D维的数据点x,我们可以采用下面的映射进行线性的降维,
y=θTx
在计算出y后,就可以选择一个阈值h,来进行分类。正如我们在前面的PCA模型中看到的,降维会有信息的损失,可能会在降维过程中,丢失使数据可分的特征,导致分类的效果不理想。
那采用什么样的降维方式,可以尽量的在低维空间中保存原来数据在高维空间中的可分性(区分类别的特征)。一个常用的模型 linear discriminant analysis(LDA)就是用来做这个工作的,下面就具体的看一下LDA模型。
原理
LDA的基本原理就是最大化类间方差(between-class variance)和类内方差(within-class variance)的比率(注意这个variance用来理解,下面用到的定义实际上是variance的一个变形),使得降维后数据有最好的可分性。如果偷用软件工程里面用的术语的话,就是“高内聚,低耦合”,类内的数据内聚,方差小,而类间数据松散,方差大。通常来说,这要比只考虑类间的距离越大要好,如下图所示:
左边图只是考虑最大化每个类期望的最大距离,我们看到有很多点投影后重合了,丧失了标签信息;而右边是LDA投影,重合的点的数目减少了很多,能更好的保存标签信息。
模型
下面我们就来形式化这个过程,首先如何定义between-class variance和within-class variance?在Fisher提出的方法中,没有使用统计中标准的variance的定义,而是使用了一个称为scatter的概念,与variance时等价的,使用这个概念可能是为了后面的推导简洁。设数据集为X=x1,x2,..,xN,则scatter的定义为:
s=∑n=1N(xn−m)T(xn−m)
其中,m=1N∑Nn=1xn。
类内方差很容易形式化,可以直接使用scatter来定义,然后把所有类别的scatter连加;那么类间的方差如何定义才能很好的让类之间的数据分的更开呢?当然应该有很多的数学关系很描述,在LDA中使用了下面这种方式,计算每个类别的期望,求期望之间的距离。先从简单的两类情况开始,然后拓展到多类的情况。
两类
设数据集合为X={x1,x2,..,xN},类别为C1,C2,则这两类的数据期望为m1,m2,计算公式如:
mk=1Nk∑i∈Ckxi
mk表示投影后的数据点的期望,则between-class variance的形式化定义为:
m2−m1=θT(m2−m1)
其中,mk=θTmk。within-class variance用within-scatter这个定义来表示,scatter是variance的变种(不用除以数据的数目),第Ck类的scatter定义为:
S2k=∑i∈Ck(yi−mi)2
其中,yi=θTxi。这样就可以得到目标函数:
J(θ)=(m2−m1)2s21+s22
将上面的定义代入上式,可以得到式子:
maxargθJ(θ)=θTSBθθTSWθ
其中,SB,SW分别称为between-class scatter和within-class scatter,表示如下:
SB=(m2−m1)(m2−m1)T;SW=S1+S2
其中,Sk=∑i∈Ck(xi−mk)(xi−mk)T。下面要做的就是最优化目标函数(x−mk),对上面的式子求导数,让导数为0,则可以得到:
(θTSBθ)SWθ=(θTSWθ)SBθ
由于投影操作,我们只关心θ的方向,上面的式子,可以去掉(θTSBθ),(θTSWθ),根据SB的定义,SBθ的方向与(m2−m1)一致,我们可以得到:
θ∗∝S−1W(m2−m1)
这个式子称为Fisher’s linear discriminant[1936],尽管这个式子不是一个判别式,只是选择了投影方向,不过只要我们选择一个阈值,然后就可以根据这个阈值进行分类了。(ps:使用求解generalized eigenvalue problem的方法求解导数为零的等式,也可以得到这个判别式)
多类
在多类问题时,将D维的向量x投影到M<D维的y,投影矩阵方程为:
y=ΘTx
可以参照PCA文章中提到投影公式,这里Θ是一个投影矩阵,每一个列向量表示一个投影方向Θk。
设数据集合为X={x1,x2,..,xN},类别为C1,C2,..,CK。在多类的时候,过程与上面一样,不过由于between-class scatter 和within-class scatter不再是标量,需要更改一下我们需要优化的目标函数。首先看一下在原空间x的定义,然后就可以类比到y空间。
withinin-class scatter 与二类时的定义一样,如下表示:
SW=∑k=1K∑i∈Ck(xi−mk)(xi−mk)T
mk定义与上面一致。
between-class scatter的定义,这里我们根据PRML里面论述的,首先定义一个ST,然后根据ST=SB+SW,然后分解得到SB。ST的定义类似Sk,不过不在一个类别,而是在所有的数据集上进行计算。
ST=∑n=1N(xn−m)(xn−m)Tm=1N∑n=1Nxn=1N∑k=1KNkmk
所以得到:
SB=======ST−SW∑n=1N(xn−m)(xn−m)T−∑k=1K∑i∈Ck(xi−mk)(xi−mk)T∑k=1K∑i∈Ck(xi−m)(xi−m)T−∑k=1K∑i∈Ck(xi−mk)(xi−mk)T∑k=1K∑i∈Ck{(xi−m)(xi−m)T−(xi−mk)(xi−mk)T}∑k=1K{∑i∈Ck−ximT+∑i∈Ck−mxTi+NkmmT+∑i∈CkximTk+∑i∈CkmkxTi−NkmkmTk}∑k=1K{−NkmkmT−mNkmk+NkmmT+NkmkmTk+Nkmkmk−NkmkmTk}∑k=1KNk(mk−m)(mk−m)T
这样我们就可以类比得到在投影空间的between-class scatter与within-class scatter:
S˜W=∑k=1K∑i∈Ck(yi−mk)(yi−mk)TS˜B=ST−SW=∑k=1KNk(mk−m)(mk−m)T
这样就可以得到目标函数,由于S˜W,S˜B不是标量,在目标函数中使用它们的行列式,
maxargΘJ(Θ)=|S˜B||S˜W|
类似在二类推到中的式子,可以得出:
maxargΘJ(Θ)=|S˜B||S˜W|=|ΘTSBΘ||ΘTSWΘ|
然后优化上面的函数(很直接,但是这里就不推导了,可能比较麻烦),可以得出结论,投影矩阵由S−1WSB的特征最大特征向量决定,这样我们就可到了一个很简洁的公式, 与PCA不同的是,这里考虑到了类别信息,得到的投影方向对一些数据集合来说,会有很大不同,如下图:
从上图中也可以看到,使用PCA投影后,数据在黑色的直线上基本不可分,而使用LDA投影,则可分性要比PCA好很多,这也说明了LDA在降维过程中保留了标签信息。
需要注意的地方是:
- 由于SB的秩最大为K−1,所以S−1WSB的特征向量数目不会超过K−1,所以我们投影后的M<=(K−1)。
- LDA也可以从normal class Density 通过最大似然估计得出。
- S−1WSB中,用到了SW的逆,但是SW的最大秩为N−K,在很多计算中,特征数远大于样本数,使得SW是奇异矩阵,所以这时候我们需要在LDA计算前,进行降维(采用PCA),使得SW是非奇异的。
模型的局限性,主要体现在下面两个方面:
- 根据上面的分析,LDA投影后最多只能保留K−1个特征,可能对一些问题来说,特征数目太少。
- LDA本是参数估计方法,假设分布符合单峰的高斯分布,对于数据集合不符合的情况,没法保留标签信息。
- 对那些由方差,而不是均值来区分的数据来说,LDA同样也没法处理,如下图所示:
应用
在人脸识别中,使用LDA降维,是一种常用的方法,形成的特征向量,称为fisher-face;此外,LDA也可以用在破产预测等方面。
引用:
[1]prml
[2]http://research.cs.tamu.edu/prism/lectures/pr/pr_l10.pdf
[3]http://www.intechopen.com/books/speech-technologies/nonlinear-dimensionality-reduction-methods-for-use-with-automatic-speech-recognition
[4]http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_discriminant_analysis
参看http://webdancer.is-programmer.com/posts/37867.html