bzoj1477 青蛙的约会

1477: 青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

分析：可以用扩展欧几里得算法解决形如ax+by=gcd(a,b)的问题，但是本题要求解形如ax+by=c,而c不一定等于gcd(a,b)的问题，我们可以化简为(m-n)x + Ly = y-x。

解法肯定是通过解ax+by=d d=gcd(a,b)来得到题目所给方程的解，设l=m-n,p = L,c=y-x,化简为lx+py=c,第一个方程两边同时乘c/d,就得到第二个方程，也就是说l=a*c/d,p=b*c/d，根据解系，可以得到任意解l‘ = l + k*p/gcd(l,p),p‘ = p - k*l/gcd(l,p)。

为了求出最小正整数解，先mod模数再加上模数后mod模数，因为如果得到的是正数，加上模数后再模没有任何影响，如果是负数，加上模数后变成正数就正好是最小正整数解。注意的是这个模数要取绝对值。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

long long x, y, m, n, L, ansx, ansy;

long long gcd(long long a, long long b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long&y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long r = exgcd(b, a%b, x, y);
    long long t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return r;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L);
    if (x == y)
    {
    printf("0");
    return 0;
    }
    else
    {
        long long a = m - n, b = y - x;
        long long t = exgcd(a, L, ansx, ansy);
        if (b % t == 0)
        {
            ansx = ansx * b / t;
            int tt = abs(L / t);
            ansx = (ansx % tt + tt) % tt;
            printf("%d", ansx);
        }
        else
            printf("Impossible");
}

    return 0;
}