计算阶乘n!末尾所含的0的个数

问题描述

给定参数n（n为正整数），请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。

例如，5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4。

问题分析：

显然，对于阶乘增长速度的非常快的，很容易就溢出了。当然就不可能把阶乘算出来，而是要找规律解决。下面用因式分解的思路来考虑：末尾的0可以分解为2*5，一个5，一个2就对应一个0；

下面给出递推过程：

（1）当n<5 时，f(n) =0; 结论成立

（2）当n>=5 时，可以令 n！=[5k*5(k-1)…10*5]*a ,其中n=5k+r ,r（0<=r<5）,a是一个不含因子的整数，可看出是一个满足条件的整数；

对于序列5k，5（k-1）…10*5 中在每一个5i中，在区间（5（i-1），5i）内存在一个偶数，即存在一个2与之对应。因此这里的k个‘5’因子 与n！中的末尾0个数是一一对应的。

所以递推公式转化为：

f(n!)=g(5^k * k! *a) = k + g(k!)= k+f(k!); k!是系数的相乘结果。

f(n!)=k+f(k!);

例如： f(5!)= 1+f(1!)=1;

f(10!)=2+f(2!)=2;

下面给出C++两种实现代码：.递归；非递归：

//递归
int n_jie_tail_zeors_recurise(int n)
{
    int zeros_num =0;
    int k;
    if(n < 5)
        return 0;
    for(k=5;k<=n;k+=5)
    {
        zeros_num++;
    }
    return zeros_num + n_jie_tail_zeors_recurise(zeros_num);
}

//非递归
int n_jie_tail_zeros_non_recurse(int n)
{
    int zeros_num =0;
    int temp = n;
    int k=0;
    int index=0;
    while(temp >5)
    {
        index =0;
        for(k =5;k<=temp;k+=5)
        {
            zeros_num++;
            index++;
        }
        temp = index;
    }
    return zeros_num;
}