一、简介
fhq treap 与一般的treap主要有3点不同
1、不用旋转
2、以merge和split为核心操作，通过它们的组合实现平衡树的所有操作
3、可以可持久化
二、核心操作
代码中val表示节点权值，pri表示节点的优先级，维护小根堆
1、split
将1个treap分裂为两个treap
分裂主要有两种：以权值k作为分界点、以位置k作为分界点
①以权值k作为分界点
设原来的treap根节点为root，分裂后的<=k的treap A 的根节点为x，>k的treap B 的根节点为y
当前节点指针now从root开始，在treap A 的x位置加点，treap B 的y位置加点
若now的权值<=k，那么以now为根的左子树全部包含在A中，
把now给x，去now的右子树，x变成x的右子树，y还是y
若now的权值>k，那么以now为分的右子树全部包含在B中，
把now给y，去now的左子树，x还是x，y变成y的右子树
void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
if(!now) x=y=0;
else
{
if(val[now]<=k)
{
x=now;
split(ch[now][1],k,ch[now][1],y);
}
else
{
y=now;
split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
}
update(now);
}
}
②以位置k作为分界点
设原来的treap根节点为root，分裂后的前k个节点的treap A 的根节点为x，剩下的节点的treap B 的根节点为y
判断放在哪颗treap的标准改成k和子树大小的比较，原理同上
void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
if(!now) x=y=0;
else
{
if(k<=siz[ch[now][0]])
{
y=now;
split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
}
else
{
x=now;
split(ch[now][1],k-siz[ch[now][0]]-1,ch[now][1],y);
}
update(now);
}
}
2、merge
合并以x为根的treap A 和 以y为根的treap B
前提：x的权值<y的权值
注意在merge的过程中，维护好堆和二叉搜索树的性质
若优先级x<y，
维护堆的性质-->y成为x的子节点
维护二叉搜索树的性质-->y在x的右子树
若优先级x>y，
维护堆的性质-->x成为y的子节点
维护二叉搜索树的性质-->x在y的左子树
int merge(int x,int y)
{
if(!x || !y) return x+y;
if(pri[x]<pri[y])
{
ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
update(x);
return x;
}
else
{
ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]);
update(y);
return y;
}
}
三、单点操作
1、建树
建树有两种方式：nlogn 一个一个插、n 直接建
这里主要说后者
每次取mid作为当前子树的根节点即可
int new_node(int v)
{
siz[++tot]=1;
val[tot]=v;
pri[tot]=rand();
return tot;
}
int build(int l,int r)
{
if(l>r) return 0;
int mid=l+r>>1,v=val[mid];
int now=new_node(v);
ch[now][0]=build(l,mid-1);
ch[now][1]=build(mid+1,r);
update(now);
return now;
}
2、插入
添加权值为v的点
1、按权值以v为分界点，split成两棵treapA（<=v)，B( >v )
2、合并A和v，得到C
3、合并C和B
merge要求x的权值<y决定了 合并的顺序
split(root,v,x,y); root=merge(merge(x,new_node(v)),y);
3、删除
删除一个权值为v的点
1、按权值以v为分界点，split成两棵treap A（<=v),B( >v)
2、把A按权值以v-1为分界点，split成两棵treap C（<=v-1) ,D(=v)
3、合并D的根节点的左右子树，相当于删除根节点，得到treap E
4、合并C和E，得F
5、合并F和B
split(root,v,x,z); split(x,v-1,x,y); y=merge(ch[y][0],ch[y][1]); root=merge(merge(x,y),z);
4、查询v的排名
1、按权值以v-1为分界点，split成两棵treap A（<=v-1) B(>=v)
2、A的大小+1 即为权值v的排名
3、合并A、B
split(root,v-1,x,y); cout<<siz[x]+1<<‘\n‘; root=merge(x,y);
5、查询排名为x的数
int get_kth(int now,int k)
{
while(1)
{
if(k<=siz[ch[now][0]]) now=ch[now][0];
else
{
k-=siz[ch[now][0]];
if(k==1) return now;
k--;
now=ch[now][1];
}
}
}
cout<<val[get_kth(root,v)]<<‘\n‘;
6、查找比v小的最大的数（前驱）
1、按权值以v-1为分界点，split成两棵treap A（<=v-1)，B(>=v)
2、在A中查找A的排名最靠后的数，输出
3、合并A和B
split(root,v-1,x,y); cout<<val[get_kth(x,siz[x])]<<‘\n‘; root=merge(x,y);
7、查询比v大的最小的数（后继）
1、按权值以v为分界点，split成两棵treap A（<=v),B(>v)
2、在B中找最靠前的数，输出
3、合并A和B
split(root,v,x,y); cout<<val[get_kth(y,1)]<<‘\n‘; root=merge(x,y);
四、区间操作
对区间[l,r]执行某种操作
1、以位置r作为分界点，split成两棵treap A（前r个节点）、B（位置r之后的节点）
2、在A中以位置l-1为分界点，split成两棵treap C（前l-1个节点）、D（第l到第r个节点）
3、对D执行操作
注意因为执行区间操作，增加2个虚拟节点，所有节点后移一位
split(root,r+1,a,b); split(a,l,c,d); work(d)
五、模板
1、普通平衡树
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3369
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 100001
int root;
int tot;
int fa[N],ch[N][2],val[N],pri[N],siz[N];
void read(int &x)
{
x=0; int f=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) { if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar(); }
while(isdigit(c)) { x=x*10+c-‘0‘; c=getchar(); }
x*=f;
}
void update(int x)
{
siz[x]=siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]]+1;
}
int new_node(int v)
{
siz[++tot]=1;
val[tot]=v;
pri[tot]=rand();
return tot;
}
int merge(int x,int y)
{
if(!x || !y) return x+y;
if(pri[x]<pri[y])
{
ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
update(x);
return x;
}
else
{
ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]);
update(y);
return y;
}
}
void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
if(!now) x=y=0;
else
{
if(val[now]<=k)
{
x=now;
split(ch[now][1],k,ch[now][1],y);
}
else
{
y=now;
split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
}
update(now);
}
}
int get_kth(int now,int k)
{
while(1)
{
if(k<=siz[ch[now][0]]) now=ch[now][0];
else
{
k-=siz[ch[now][0]];
if(k==1) return now;
k--;
now=ch[now][1];
}
}
}
int main()
{
srand(time(0)+20001024);
int n,u,v;
int x,y,z;
read(n);
while(n--)
{
read(u); read(v);
if(u==1)
{
split(root,v,x,y);
root=merge(merge(x,new_node(v)),y);
}
else if(u==2)
{
split(root,v,x,z);
split(x,v-1,x,y);
y=merge(ch[y][0],ch[y][1]);
root=merge(merge(x,y),z);
}
else if(u==3)
{
split(root,v-1,x,y);
cout<<siz[x]+1<<‘\n‘;
root=merge(x,y);
}
else if(u==4)
{
cout<<val[get_kth(root,v)]<<‘\n‘;
}
else if(u==5)
{
split(root,v-1,x,y);
cout<<val[get_kth(x,siz[x])]<<‘\n‘;
root=merge(x,y);
}
else
{
split(root,v,x,y);
cout<<val[get_kth(y,1)]<<‘\n‘;
root=merge(x,y);
}
}
}
2、文艺平衡树
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3391
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 100005
int n;
int tot,root;
int siz[N],ch[N][2],val[N],pri[N];
bool rev[N];
void read(int &x)
{
x=0; int f=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) { if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar(); }
while(isdigit(c)) { x=x*10+c-‘0‘; c=getchar(); }
x*=f;
}
int new_node(int v)
{
siz[++tot]=1;
val[tot]=v;
pri[tot]=rand();
return tot;
}
void update(int x)
{
siz[x]=1+siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]];
}
int build(int l,int r)
{
if(l>r) return 0;
int mid=l+r>>1,v=mid-1;
int now=new_node(v);
ch[now][0]=build(l,mid-1);
ch[now][1]=build(mid+1,r);
update(now);
return now;
}
void down(int x)
{
rev[x]^=1;
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
rev[ch[x][0]]^=1;
rev[ch[x][1]]^=1;
}
int merge(int x,int y)
{
if(!x || !y) return x+y;
if(rev[x]) down(x);
if(rev[y]) down(y);
if(pri[x]<pri[y])
{
ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
update(x);
return x;
}
else
{
ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]);
update(y);
return y;
}
}
void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
if(!now) x=y=0;
else
{
if(rev[now]) down(now);
if(k<=siz[ch[now][0]])
{
y=now;
split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
}
else
{
x=now;
split(ch[now][1],k-siz[ch[now][0]]-1,ch[now][1],y);
}
update(now);
}
}
void reverse(int l,int r)
{
int a,b,c,d;
split(root,r+1,a,b);
split(a,l,c,d);
rev[d]^=1;
root=merge(merge(c,d),b);
}
void dfs(int x)
{
if(rev[x]) down(x);
if(ch[x][0]) dfs(ch[x][0]);
if(val[x]>=1 && val[x]<=n) cout<<val[x]<<‘ ‘;
if(ch[x][1]) dfs(ch[x][1]);
}
int main()
{
srand(time(0)+20001024);
int m;
read(n); read(m);
root=build(1,n+2);
int l,r;
while(m--)
{
read(l); read(r);
reverse(l,r);
}
dfs(root);
}
原文地址：https://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/8288818.html