Posted on 09/03/2009 by ccjou
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一实(或复) 正交矩阵(orthogonal matrix) 
是一个实(或复) 方阵满足
，
即 
。 写出 
阶实正交矩阵的行向量(column vector) 表达， 
，则 
，矩阵乘积 
的 
元等于 
与 
的内积。 因此， 
若 
， 
若 
。 换句话说，实正交矩阵 的行向量 
是向量空间 
的一组单范正交基底(orthonormal basis)，单范表示归一， 是单位向量，正交意味 垂直 。 不过，复正交矩阵的行向量并非 
的一个单范正交集，因为两个复向量 
与 
的内积定义为 
(见“ 内积的定义 ”)。 如欲将实正交矩阵推广至复矩阵，将转置改为共轭转置。 一么正矩阵(酉矩阵，unitary matrix) 
是一个复方阵满足
，
即 
。 同样地，设 
，则 
。 么正矩阵的行向量 
是向量空间 
的一组单范正交基底。 例如，
，
其中 
。 因为 
，若 是一么正矩阵，则 
也是么正矩阵。 所以，么正矩阵 的共轭列向量(row vector) 构成 的一个单范正交集(事实上， 的列向量即构成单范正交集，因为 
， 
也是么正矩阵)。 类似地，实正交矩阵 的列向量构成 的一个单范正交集。 在一般情况下，么正矩阵与复正交矩阵是不同的，但实么正矩阵与实正交矩阵是相同的。 所以，么正矩阵的所有性质皆可套用于实正交矩阵。
么正矩阵出现于许多矩阵分解式，举两个例子。 第一是矩阵三角化的Schur 定理：任一方阵 
可分解为 
，其中 是一么正矩阵， 
是上三角矩阵(见“ 矩阵三角化的Schur定理 ”)。 第二是正规矩阵(normal matrix) 的么正对角化(unitarily diagonalizable)：若 为一正规矩阵， 
，则存在一么正矩阵 使得 
，其中 
为一对角矩阵(见“ 特殊矩阵(2)：正规矩阵 ”)。 事实上，可么正对角化是正规矩阵的一个充要条件。
以下令 为一 阶么正矩阵，所有的性质都是由定义式得来。
性质1 .向量的长度不因么正变换而改变，即每一 
，
。
性质1说明么正变换是一个保长((length-preserving) 变换。使用定义式，
。
反过来说，若所有向量 都满足 ，平方后整理可得 
，可知 
，并推得 
。 所以，保长是么正矩阵的一个充要条件。
性质2 .两向量的内积不因么正变换而改变，即任何 
，
。
性质2说明么正变换具有内积不变性。 使用定义式，
。
将上式的 替换为 ，性质2可推得性质1。 所以，内积不变性是么正矩阵的另一个充要条件。
性质3 .么正矩阵的特征值之绝对值为 
。
假设 
，等号两边同时取向量长度。 利用性质1，等号左边为 ，但等号右边为 
，所以 
，换句话说，么正矩阵的特征值可表示为 
。
性质4 .么正矩阵 可么正对角化， 
，其中 
是一么正矩阵， 
。
么正矩阵 满足 
，因此属于正规矩阵家族，本身也可被么正对角化。 下面介绍 对应相异特征值的特征向量互为正交的一个证明。 假设非零向量 与 使得 
， 
，且 
。 使用性质2，
。
比较等号两边，推得 
或 
。 使用性质三，令 
，则 
。 但已知 
不等于 
，推论 
，证明 正交于 。
性质5 .么正矩阵 的行列式为 
。
根据性质3， 的特征值满足 
。 行列式等于特征值之积，故 
。 另一个作法计算
，
但 
，所以 。
对于一实正交矩阵 ， 
为实数，由性质5可知 
。 据此，实正交矩阵可以区分为两类：若 
，则 称为适当的(proper) 的正交矩阵；若 
，则 称为不适当的正交矩阵。 令 
是平面上逆时针旋转角为 
的旋转矩阵， 
是平面上以 
为镜射轴指向的镜射矩阵，公式如下(见“ 几何变换矩阵的设计 ”)：
。
因为 
，平面旋转是适当的正交矩阵。 另一方面， 
，平面镜射是不适当的正交矩阵(见“ 旋转与镜射 ”)。 平面旋转与镜射是保长变换，提示我们这两种矩阵是实正交矩阵。
最后补充一个么正矩阵的充分条件：假设 阶矩阵 的特征值 
满足 。 若每一 使得 
，则 是一个么正矩阵(见“ 每周问题July 6, 2015 ”)。 注解提供两个证明：第一个证明使用奇异值分解[1] ，第二个证明使用矩阵三角化的Schur定理[2] 。
注解
[1] 令 的特征值为 
，奇异值为 
。 给定的不等式等价于
，
其中 
。 令 的奇异值分解为 
，其中 
且 
。 使用恒等式 
，又 
且 
，推得 
。 但 
，可知 
。 因此， 
，即知 
，证明 是一么正矩阵。
[2] 根据Schur 定理，写出 ，其中 是么正矩阵， 
是上三角矩阵，主对角元为 的特征值 ，每一 。 考虑 
，其中 
是第 
个标准单位向量，则 
。 我们得到
。
对于单位向量 ，给定条件等价于 
，再有 
，使得 
， 
。 套用归纳法，重复上述步骤令 
， 
，可推论 是一个对角矩阵满足 
(因为 
)。 所以，
。
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