群
群是一个非常厉害的数学理论,解决了5次方程问题,在几何学、拓扑学、函数论等方面都有巨大的作用
群的定义:
①封闭性:对任意a和b属于集合G,存在唯一确定的c属于集合G,使得a*b=c
(任意a,b∈G,存在唯一确定的c∈G,a*b=c)
②结合律:对任意a,b,c属于集合G,那么(a*b)*c=a*(b*c)
(任意a,b,c∈G,(a*b)*c=a*(b*c))
③单位元:存在e属于集合G和任意a属于集合G,a*e=e*a=a,这时我们把e称作单位元(也成幺元)
(存在e∈G,任意a∈G,a*e=e*a=a)
⑤逆元:对任意a属于集合G,存在b属于集合G,使得a*b=b*a=e(单位元),记b=a^(-1)
(对任意a∈G,存在b∈G,使得a*b=b*a=e(单位元),记b=a^(-1))
如果满足以上条件,那么则称集合G在运算“*”的意义之下是一个群,简称G是群,a*b一般写为ab。
如果是具体乘法“*”,那么G为乘法群。具体运算为加法“+”,则称为加法群。
若G的元素是有限的,则称为有限群。无限则称之为无限群。
群的运算:
对于g∈G,对于G的子集H,定义g*H={gh|h∈H},简写为gH:H*g={hg|h∈G},可以简写为Hg。
对于G的子集A、B,定义A*B={ab|a∈A,b∈B},简写为AB
对于G的子集H,记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}。
定理1:若(G,*)是群,那么对于任意g∈G,gG=Gg=G
定理2:若(G,*)是群,H是G的非空子集,那么(H,*)也是群,H为G的子群。
时间: 2024-10-24 11:48:51