【群论】群

    群是一个非常厉害的数学理论,解决了5次方程问题,在几何学、拓扑学、函数论等方面都有巨大的作用

   

    群的定义:

        ①封闭性:对任意a和b属于集合G,存在唯一确定的c属于集合G,使得a*b=c

(任意a,b∈G,存在唯一确定的c∈G,a*b=c)

②结合律:对任意a,b,c属于集合G,那么(a*b)*c=a*(b*c)

(任意a,b,c∈G,(a*b)*c=a*(b*c))

③单位元:存在e属于集合G和任意a属于集合G,a*e=e*a=a,这时我们把e称作单位元(也成幺元)

(存在e∈G,任意a∈G,a*e=e*a=a)

⑤逆元:对任意a属于集合G,存在b属于集合G,使得a*b=b*a=e(单位元),记b=a^(-1)

(对任意a∈G,存在b∈G,使得a*b=b*a=e(单位元),记b=a^(-1))

如果满足以上条件,那么则称集合G在运算“*”的意义之下是一个群,简称G是群,a*b一般写为ab。

    如果是具体乘法“*”,那么G为乘法群。具体运算为加法“+”,则称为加法群。

    若G的元素是有限的,则称为有限群。无限则称之为无限群。

群的运算:

    对于g∈G,对于G的子集H,定义g*H={gh|h∈H},简写为gH:H*g={hg|h∈G},可以简写为Hg。

对于G的子集A、B,定义A*B={ab|a∈A,b∈B},简写为AB

对于G的子集H,记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}。

定理1:若(G,*)是群,那么对于任意g∈G,gG=Gg=G

定理2:若(G,*)是群,H是G的非空子集,那么(H,*)也是群,H为G的子群。

时间: 2024-10-24 11:48:51

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群论 一.基本定义 群:给定一个集合$G=${a,b,c...}和集合上的二元运算$"·"$,要求满足下面四个条件 ①.封闭性:对于任意$a,b\in G$,一定存在$c\in G$,使得$a·b=c$ ②.结合律:对于任意$a,b,c\in G$,有$(a·b)·c=a·(b·c)$ ③.单位元:存在$e\in G$,使得对任意$a\in G$,有$a·e=e·a=a$ ④.逆元:对任意$a\in G$,均存在$b\in G$,使得$a·b=e$,其中$b$称作$a$的逆元,记作$a

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