线性求逆元

简介

逆元，简单的来说就是a?b≡1(modp)，那么b就是a关于p的逆元。

正常的来说用扩展欧几里得来做。复杂度不是线性的。

但是如果所有的i≤p，有一个线性求逆元的方法。

正常的来说

方法

因为i≤p，所以考虑用i来表示p，并要求表示出来的所有数都能用p和i表示。

设p=ki+b，k=?pi?，l=pmodi

那么ki+b≡0(modp)

因为要求的是i?1，所以需要把i?1独立起来，所以我们等式两边同时乘以i?1b?1

那么式子就可以变成kb?1+i?1≡0

然后把可以求得i的逆元的数放到右边去。

i?1≡?k?b?1

然后再把k和b用p来表示。

i?1≡??pi??(pmodi)?1

设数组a[i]表示i的逆元

那么由上面的式子可以知道：

a[i]=??pi??a[pmodi]?1

所以a[i]≡??pi??a[pmodi]?1

把上面的东西优化一下

因为系数带p的在mod p意义下都视为0

a[i]≡??pi??a[pmodi]?1+p?a[pmodi]?1

所以

a[i]≡(p??pi?)?a[pmodi]?1

为了方便记忆，式子可以改为

a[i]≡(p??pi?)?a[p??pi??i]?1