参考资料
http://blog.csdn.net/weinierbian/article/details/8059129
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html
一、最小生成树算法
给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树.
常见的两种算法是：Kruskal算法、Prim算法
Kruskal算法简述
假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。
Prim算法简述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew= {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew= {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew= V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
图例：
Kruskal算法
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。
Prim算法：
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
|
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此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
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顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
|
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下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
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算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
|
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在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
|
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这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
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顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
|
现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
实现代码：
Kruskal
1 typedef struct
2 {
3 char vertex[VertexNum]; //顶点表
4 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
5 int n,e; //图中当前的顶点数和边数
6 }MGraph;
7
8 typedef struct node
9 {
10 int u; //边的起始顶点
11 int v; //边的终止顶点
12 int w; //边的权值
13 }Edge;
14
15 void kruskal(MGraph G)
16 {
17 int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;
18 int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通
19 int E[EdgeNum]; //存放所有的边
20 k=0; //E数组的下标从0开始
21 for (i=0;i<G.n;i++)
22 {
23 for (j=0;j<G.n;j++)
24 {
25 if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)
26 {
27 E[k].u=i;
28 E[k].v=j;
29 E[k].w=G.edges[i][j];
30 k++;
31 }
32 }
33 }
34 heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列
35 for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组
36 {
37 vset[i]=i;
38 }
39 k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数
40 j=0; //E中的下标
41 while (k<G.n)
42 {
43 sn1=vset[E[j].u];
44 sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号
45 if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树
46 {
47 printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);
48 k++;
49 for (i=0;i<G.n;i++)
50 {
51 if (vset[i]==sn2)
52 {
53 vset[i]=sn1;
54 }
55 }
56 }
57 j++;
58 }
59 }