抽象函数的性质往往不太好想,所以举个例子,加以验证。
作为学生,不需要知道那么严谨的逻辑证明,只要会用结论就行了。
1、函数的对称性图像说明:
轴对称函数所举的例子:\(f(x)=\cfrac{1}{2}(x-2)^2\);
中心对称函数所举的例子:\(f(x)=(x-1)^3\);
2、函数的对称性的逻辑证明:
①、函数\(f(x)\)的对称轴为直线\(x=2\)的充要条件是函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(4-x)\)。
充分性:函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(4-x)\),取其上任意一点\((x_0,y_0)\),
则有\(y_0=f(x_0)\),则有\(f(x_0)=f(4-x_0)=y_0\),
说明点\((x_0,y_0)\)和点\((4-x_0,y_0)\)都在函数图像上,
而这两个点关于直线\(x=\cfrac{x_0+(4-x_0)}{2}=2\)对称,
又由于点的任意性可知,函数关于直线\(x=2\)对称;
必要性:函数\(f(x)\)的对称轴为直线\(x=2\),
取其上任意一点\((x_0,y_0)\),则有\(y_0=f(x_0)\),
而点\((x_0,y_0)\)关于直线\(x=2\)的对称点是\((4-x_0,y_0)\),
故有\(y_0=f(x_0)=f(4-x_0)\),即\(f(x_0)=f(4-x_0)\),
又由于点的任意性可知,函数必然满足\(f(x)=f(4-x)\)。[证毕]
使用方法:
若函数$f(x)$满足$f(x)=f(2-x)$,
则是关于直线$x=\cfrac{x+(2-x)}{2}=1$ 对称的;
自然若函数$f(x)$满足$f(1-x)=f(1+x)$,
则也是关于直线$x=\cfrac{(1-x)+(1+x)}{2}=1$ 对称的;
其实表达式$f(x)=f(2-x)$和$f(1-x)=f(1+x)$刻画的是同一回事,
用$1-x$替换$f(x)=f(2-x)$中的$x$,就能得到$f(1-x)=f(1+x)$。
用此理论,我们还可以主动刻画函数的对称性,
其一用图像刻画,其二用数学语言表达为$f(0.5-x)=f(1.5+x)$;
②、函数\(f(x)\)的对称中心是\((1,1)\)的充要条件是函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2-x)=2\)。
充分性:函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2-x)=2\),取其上任意一点\((x_0,y_0)\),
则必有\(y_0=f(x_0)\),
又由于点\((x_0,y_0)\)关于点\((1,1)\)的对称点为\((2-x_0,2-y_0)\),
\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\),得到\(y_0+f(2-x_0)=2\),
即\(2-y_0=f(2-x_0)\),说明点\((2-x_0,2-y_0)\)也在函数图像上,
又由于点的任意性可知,函数图像上任意点关于点\((1,1)\)的对称点也在函数图像上;
必要性:函数\(f(x)\)的对称中心为点\((1,1)\),
取其上任意一点\((x_0,y_0)\),其在图像上,则有\(y_0=f(x_0)\),
而其对称点\((2-x_0,2-y_0)\)也在图像上,故有\(2-y_0=f(2-x_0)\),
即\(2-f(x_0)=f(2-x_0)\),即\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\);
又由于点的任意性可知,函数图像上任意点都满足\(f(x)+f(2-x)=2\);[证毕]
使用方法:
若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2-x)=4\),则其关于点成中心对称,
对称中心的坐标\((x_0,y_0)\)这样求解,
\(x_0=\cfrac{x+(2-x)}{2}=1\),\(y_0=\cfrac{f(x)+(2-x)}{2}=2\),
即对称中心为\((1,2)\);
自然若函数\(f(x)\)满足\(f(-x)+f(2+x)=2\),则也是关于点\((1,1)\)对称的,
同理我们也可以这样刻画一个函数关于点\((1,1)\)对称。
我们就说函数满足条件\(f(0.5-x)+f(1.5+x)=2\)或者\(f(3-x)+f(-1+x)=2\);
【2017全国卷1文科第9题高考真题】
已知函数\(f(x)=lnx+ln(2-x)\),则
A、\(f(x)\)在\((0,2)\)单调递增 \(\hspace{0.5cm}\) B、\(f(x)\)在\((0,2)\)单调递减 \(\hspace{0.5cm}\)
C、\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称 \(\hspace{0.5cm}\) D、\(y=f(x)\)的图像关于点\((1,0)\)对称
分析:由于函数\(f(x)\)是复合函数,定义域要使\(x>0,2-x>0\),
即定义域是\((0,2)\),又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\),
则由复合函数的单调性法则可知,
在\((0,1)\)上单增,在\((1,2)\)上单减,故排除A,B;
若函数\(y=f(x)\)关于点\((1,0)\)对称,则函数\(f(x)\)必然满足关系:\(f(x)+f(2-x)=0\);
若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称,则函数\(f(x)\)必然满足关系:\(f(x)=f(2-x)\);
课件验证
接下来我们用上述的结论来验证,
由于\(f(x)=lnx+ln(2-x)\),\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\),
即满足\(f(x)=f(2-x)\),故函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称,选C;
再来验证D,发现\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\),D选项不满足。
\(\fbox{例1}\)
已知函数\(f(x)=lg(4x-x^2)\),则()
A、\(f(x)\)在\((0,4)\)上单调递增 \(\hspace{2cm}\) B、\(f(x)\)在\((0,4)\)上单调递减 \(\hspace{2cm}\)
C、\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称 \(\hspace{2cm}\) D、 \(y=f(x)\)的图像关于点\((2,0)\)对称
分析:令内函数\(g(x)=4x-x^2>0\),得到定义域\((0,4)\),
又\(g(x)=-(x-2)^2+4\),故内函数在\((0,2]\)单减,在\([2,4)\)单增,
外函数只有单调递增,故复合函数\(f(x)\)在\((0,2]\)单减,在\([2,4)\)单增,
故排除A、B;
要验证C选项,
只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称的充要条件\(f(x)=f(4-x)\)验证即可,
而\(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]\)
\(=lg(16-4x-16+8x-x^2)\)
\(=lg(4x-x^2)=f(x)\),故选C。
若要验证D选项,
只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于点\((2,0)\)对称的充要条件\(f(x)+f(4-x)=0\)验证即可。
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