抽象函数的对称性验证

抽象函数的性质往往不太好想,所以举个例子,加以验证。

作为学生,不需要知道那么严谨的逻辑证明,只要会用结论就行了。

1、函数的对称性图像说明:

轴对称函数所举的例子:\(f(x)=\cfrac{1}{2}(x-2)^2\);

中心对称函数所举的例子:\(f(x)=(x-1)^3\);

2、函数的对称性的逻辑证明:

①、函数\(f(x)\)的对称轴为直线\(x=2\)的充要条件是函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(4-x)\)。

充分性:函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(4-x)\),取其上任意一点\((x_0,y_0)\),

则有\(y_0=f(x_0)\),则有\(f(x_0)=f(4-x_0)=y_0\),

说明点\((x_0,y_0)\)和点\((4-x_0,y_0)\)都在函数图像上,

而这两个点关于直线\(x=\cfrac{x_0+(4-x_0)}{2}=2\)对称,

又由于点的任意性可知,函数关于直线\(x=2\)对称;

必要性:函数\(f(x)\)的对称轴为直线\(x=2\),

取其上任意一点\((x_0,y_0)\),则有\(y_0=f(x_0)\),

而点\((x_0,y_0)\)关于直线\(x=2\)的对称点是\((4-x_0,y_0)\),

故有\(y_0=f(x_0)=f(4-x_0)\),即\(f(x_0)=f(4-x_0)\),

又由于点的任意性可知,函数必然满足\(f(x)=f(4-x)\)。[证毕]

使用方法:

若函数$f(x)$满足$f(x)=f(2-x)$,

则是关于直线$x=\cfrac{x+(2-x)}{2}=1$ 对称的;

自然若函数$f(x)$满足$f(1-x)=f(1+x)$,

则也是关于直线$x=\cfrac{(1-x)+(1+x)}{2}=1$ 对称的;

其实表达式$f(x)=f(2-x)$和$f(1-x)=f(1+x)$刻画的是同一回事,

用$1-x$替换$f(x)=f(2-x)$中的$x$,就能得到$f(1-x)=f(1+x)$。

用此理论,我们还可以主动刻画函数的对称性,

其一用图像刻画,其二用数学语言表达为$f(0.5-x)=f(1.5+x)$;

②、函数\(f(x)\)的对称中心是\((1,1)\)的充要条件是函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2-x)=2\)。

充分性:函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2-x)=2\),取其上任意一点\((x_0,y_0)\),

则必有\(y_0=f(x_0)\),

又由于点\((x_0,y_0)\)关于点\((1,1)\)的对称点为\((2-x_0,2-y_0)\),

\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\),得到\(y_0+f(2-x_0)=2\),

即\(2-y_0=f(2-x_0)\),说明点\((2-x_0,2-y_0)\)也在函数图像上,

又由于点的任意性可知,函数图像上任意点关于点\((1,1)\)的对称点也在函数图像上;

必要性:函数\(f(x)\)的对称中心为点\((1,1)\),

取其上任意一点\((x_0,y_0)\),其在图像上,则有\(y_0=f(x_0)\),

而其对称点\((2-x_0,2-y_0)\)也在图像上,故有\(2-y_0=f(2-x_0)\),

即\(2-f(x_0)=f(2-x_0)\),即\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\);

又由于点的任意性可知,函数图像上任意点都满足\(f(x)+f(2-x)=2\);[证毕]

使用方法:

若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2-x)=4\),则其关于点成中心对称,

对称中心的坐标\((x_0,y_0)\)这样求解,

\(x_0=\cfrac{x+(2-x)}{2}=1\),\(y_0=\cfrac{f(x)+(2-x)}{2}=2\),

即对称中心为\((1,2)\);

自然若函数\(f(x)\)满足\(f(-x)+f(2+x)=2\),则也是关于点\((1,1)\)对称的,

同理我们也可以这样刻画一个函数关于点\((1,1)\)对称。

我们就说函数满足条件\(f(0.5-x)+f(1.5+x)=2\)或者\(f(3-x)+f(-1+x)=2\);

【2017全国卷1文科第9题高考真题】

已知函数\(f(x)=lnx+ln(2-x)\),则

A、\(f(x)\)在\((0,2)\)单调递增 \(\hspace{0.5cm}\) B、\(f(x)\)在\((0,2)\)单调递减 \(\hspace{0.5cm}\)
C、\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称 \(\hspace{0.5cm}\) D、\(y=f(x)\)的图像关于点\((1,0)\)对称

分析:由于函数\(f(x)\)是复合函数,定义域要使\(x>0,2-x>0\),

即定义域是\((0,2)\),又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\),

则由复合函数的单调性法则可知,

在\((0,1)\)上单增,在\((1,2)\)上单减,故排除A,B;

若函数\(y=f(x)\)关于点\((1,0)\)对称,则函数\(f(x)\)必然满足关系:\(f(x)+f(2-x)=0\);

若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称,则函数\(f(x)\)必然满足关系:\(f(x)=f(2-x)\);
课件验证

接下来我们用上述的结论来验证,

由于\(f(x)=lnx+ln(2-x)\),\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\),

即满足\(f(x)=f(2-x)\),故函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称,选C;

再来验证D,发现\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\),D选项不满足。

\(\fbox{例1}\)
已知函数\(f(x)=lg(4x-x^2)\),则()

A、\(f(x)\)在\((0,4)\)上单调递增 \(\hspace{2cm}\) B、\(f(x)\)在\((0,4)\)上单调递减 \(\hspace{2cm}\)

C、\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称 \(\hspace{2cm}\) D、 \(y=f(x)\)的图像关于点\((2,0)\)对称

分析:令内函数\(g(x)=4x-x^2>0\),得到定义域\((0,4)\),

又\(g(x)=-(x-2)^2+4\),故内函数在\((0,2]\)单减,在\([2,4)\)单增,

外函数只有单调递增,故复合函数\(f(x)\)在\((0,2]\)单减,在\([2,4)\)单增,

故排除A、B;

要验证C选项,

只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称的充要条件\(f(x)=f(4-x)\)验证即可,

而\(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]\)

\(=lg(16-4x-16+8x-x^2)\)

\(=lg(4x-x^2)=f(x)\),故选C。

若要验证D选项,

只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于点\((2,0)\)对称的充要条件\(f(x)+f(4-x)=0\)验证即可。

原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6691247.html

时间: 2024-11-09 02:12:16

抽象函数的对称性验证的相关文章

函数对称性总结

就函数的性质着重讲解了单调性.奇偶性.周期性,但在考试中不乏对函数对称性.连续性.凹凸性的考查.尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,因而考查的频率一直比较高.以笔者的经验看,这方面一直是教学的难点,尤其是抽象函数的对称性判断.所以所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结. 一.对称性的概念及常见函数的对称性 1.对称性的概念   ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对

leetcode:Symmetric Tree【Python版】

#error caused by:#1:{} 没有考虑None输入#2:{1,2,2} 没有控制h和t#3:{4,-57,-57,#,67,67,#,#,-97,-97} 没有考虑负号,将s从str变成list,采用9999代表空数值: --------------------- 逐层进行对称性验证,出现不对称就结束: 1 # Definition for a binary tree node 2 # class TreeNode: 3 # def __init__(self, x): 4 #

常用数学化简技巧与常用公式【运算能力辅导】[编辑中]

前言 与其不停的抱怨学生的运算弱鸡,不如我们自己静下心来,好好的作以整理和总结,以期对他们有所帮助.另外还要注意体会数学化简的方向和方法:2019高考数学Ⅱ卷的第4题,让许多学生不知所云,就是例证. 引例[2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第4题]原题目略,将高考真题中的物理知识背景省略,高度抽象就得到了如下的数学题目: 已知公式:\(\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}\),且已知\(\alpha=\cfrac{

ASP.NET MVC 使用Remote特性实现远程属性验证

RemoteAttribute是asp.net mvc 的一个验证特性,它位于System.Web.Mvc命名空间 下面通过例子来说明 很多系统中都有会员这个功能,会员在前台注册时,用户名不能与现有的用户名重复,还要求输入手机号码去注册,同时手机号码也需要验证是否重复,下面是实体类 /// <summary> /// 会员 /// </summary> public class Member { public int Id { get; set; } [Required(Error

IE 弹出提示:由于无法验证发布者,所以Windows 已经阻止此软件

由于无法验证发布者,所以Windows 已经阻止此软件 按如下步骤:1.打开Internet Explorer---菜单栏点“工具”---Internet选项--安全---自定义级别---安全设置---“ActiveX控件和插件下”的第5个“下载未签名的ActiveX控件”选择“提示”---确定!刷新您要安装的页面即可(因为使用的软件没有通过微软的徽标认证,在SP2中默认是不允许安装这样的程序的,解决方法为开始-控制面板-系统-硬件.其中在驱动程序项里有有个“驱动程序签名”的选项,点开后.选第一

Oracle基础学习2--Oracle登录与三种验证机制

首先,Oracle安装完毕有三个默认用户 ?  Sys:数据库对象的拥有者.权限最高.password在安装的时候(口令管理)能够改变 ?  System:数据库管理员,password为manager ?  Scott:一个普通用户,password为tiger 再看连接Oracle的三种验证机制 ?  操作系统验证(具体解释见以下) ?  password文件验证 ?  数据库验证 注:前两者适用于系统用户,比方:Sys.System等:最后一个适用于普通用户.比方:Scott. 再看Ora

SpringMVC中文件上传的客户端验证

SpringMVC中文件上传的客户端验证 客户端验证主要思想:在jsp页面中利用javascript进行对文件的判断,完成验证后允许上传 验证步骤:1.文件名称 2.获取文件的后缀名称 3.判断哪些文件类型允许上传 4.判断文件大小 5.满足条件后跳转后台实现上传 前台界面(验证上传文件是否格式满足要求): <body> <h2>文件上传</h2> <form action="upload01" method="post" 

PHP.48-TP框架商城应用实例-后台23-权限管理-权限验证

权限验证 1.登录控制器 2.通过tp验证码类生成验证码图片 3.在管理员模型增加登录验证规则 4.后台中所有的控制器必须先登录才能访问 思路:在访问任何一个控制器之前都判断一个session即可,=>增加一个父控制器验证Session 让所有后台的控制器[除了Login控制器之外的]都继承自这个控制器 5.在管理员访问后台的任何一个页面之前先到数据库中查看当前管理员所在的角色是否有权限访问这个页面 在权限模型中增加此检查方法,在父类登录控制器中调用 6.后台左侧只显示当前管理员有权限访问的按钮

在Laravel中使用Middleware进行身份验证

新建一个中间件: 方法写在handle中 判断用户是否登录而且是否是管理员,不是的话返回到主页 新建判断是否为管理员的方法 在kernel定义一个中间件,key是admin 注册群组路由:prefix是路由前缀,访问路由会自动在前面加上路由前缀:middleware是key值,会去验证中间件 1在数据库中是管理员 成功 附: 注册单个路由的中间件: Route::get('admin/profile', ['middleware' => 'auth', function () { // }]);