P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets（完全背包+数论确定上界）

题目链接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=2737

题目大意：农夫布朗的奶牛们正在进行斗争，因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品：麦香牛块。奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤。奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”。“看，”奶牛们说，“如果你只用一次能装3块、6块或者10块的三种包装盒包装麦香牛块，你就不可能满足一次只想买1、2、4、5、7、8、11、14或者17块麦香牛块的顾客了。劣质的包装意味着劣质的产品。”

你的任务是帮助这些奶牛。给出包装盒的种类数N(1<=N<=10)和N个代表不同种类包装盒容纳麦香牛块个数的正整数(1<=i<=256)，输出顾客不能用上述包装盒(每种盒子数量无限)买到麦香牛块的最大块数。如果所有购买方案都能得到满足或者不存在不能买到块数的上限，则输出0。 不能买到的最大块数（倘它存在）不超过2,000,000,000。

解题思路：其实这道题就是完全背包判断是否存在填充方案，只是题目给出2,000,000,000的上界让我一时不敢写下去，后来看到有一个定理可以缩小上界，就直接套背包了。总结为以下几点：

　　　　　　①存在一个定理：若p，q为自然数，且gcd(p,q)=1，那么px+qy不能表示的最大数为pq-p-q。那么本题中p，q均取决于最大的两个数，不妨取256（方便一点），那么上界为256^2-256*2（跟取p=256，q=255一样的）。

　　　　　　②判断当ans超出pq-q-q时，说明不存在不能买到块数的上限，ans=0

　　　　　　③状态转移方程：dp[j]=dp[j]+dp[j-a[i]]。

代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 const int N=1e6+5;
 6
 7 int a[105];
 8 long long dp[N];
 9
10 int main(){
11     int n;
12     while(~scanf("%d",&n)){
13         memset(dp,0,sizeof(dp));
14         for(int i=1;i<=n;i++){
15             scanf("%d",&a[i]);
16         }
17         dp[0]=1;
18         for(int i=1;i<=n;i++){
19             for(int j=0;j<=256*256;j++){
20                 if(j>=a[i])
21                     dp[j]+=dp[j-a[i]];
22             }
23         }
24         int ans=0;
25         for(int i=1;i<=256*256;i++){
26             if(dp[i]==0)
27                 ans=i;
28         }
29         if(ans>256*256-2*256)
30             ans=0;
31         printf("%d\n",ans);
32     }
33     return 0;
34 }