施密特正交化

对于一组向量，有时候我们需要对其进行正交化处理，也就是说，该组向量中任意两个向量都是互相垂直的。那么，要怎么做呢？

假设只有两个向量，\(\vec v_0\)和\(\vec v_1\)，正交化的几何示意图如下所示。

假设正交化之后的向量为\(\vec w_0\)和\(\vec w_1\)，那么由图可知，可得\(\vec w_0 = \vec v_0\)，且有：

\(\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}\)

这里减去的部分是向量\(\vec v_1\)在向量\(\vec w_0\)上的投影。然后将\(\vec w_0\)和\(\vec w_1\)进行归一化，就得到了最终的结果。

那么，如果有三个向量，\(\vec v_0\)，\(\vec v_1\)，\(\vec v_2\)，这种情况要如何处理呢？同样地，正交化的几何示意图如下所示。

假设正交化之后的向量为\(\vec w_0\)，\(\vec w_1\)，\(\vec w_2\)，由图可知，可得\(\vec w_0 = \vec v_0\)，且有：

\(\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}\)

\(\vec w_2 = \vec v_2 - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|} - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_1}{|\vec w_1|}\)

从图中可以看出向量\(\vec w_2\)即为向量\(\vec v_2\)减去在\(\vec w_0\)和\(\vec w_1\)上的投影。将这三个向量进行归一化即可得到最终的结果。

那么，假如我们有一组向量\(\{ \vec v_0, \vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \}\)，要想求得它们正交化后的向量组\(\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}\)，步骤如下：

1. 令\(\vec w_0 = \vec v_0\)；
2. 计算\(\vec w_i = \vec v_i - \sum_{j = 0}^{i - 1} \dfrac{\vec v_i \cdot \vec w_j}{|\vec w_j |};1 \leq i \leq n\)；
3. 将得到的\(\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}\)进行正交化。

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