Burnside 引理 / Pólya 定理

• \(A\) 和 \(B\) 为有限集合
• \(X=B^A\) 表示所有 \(A\) 到 \(B\) 的映射
• \(G\) 是 \(A\) 上的置换群，\(X/G\) 表示 \(G\) 作用在 \(X\) 上的等价类的集合
• \(X^g=\{x|x\in X,g(x)=x\}\)

Burnside 引理

\[
|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|
\]

• \(c(g)\) 表示置换 \(g\) 能拆分成的不相交的循环置换的数量

Pólya 定理

\[
|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|B|^{c(g)}
\]

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