[知识点]莫比乌斯反演模型进阶

哪来什么进阶QAQ，只不过是被虐得更惨了

总结了一下lc传授的套路与模型

一般来讲是求与gcd有关的。那么可以反演得到模型：

令f(d)为1<=x<=n，1<=y<=m且gcd(x,y)=d的数对(x,y)的个数

然后可以枚举d进行一波操作，然后再换个元，大概可以得到

通过预处理出g（x）和前缀和，分块去计算答案，以达到单次询问√n

至于这个处理g（x），我们通常用以下方法：

借鉴线性筛，分类操作

①x为质数时

②i与p互质时求i*p

③i%p==0时求i*p（此时break）

通常第三种情况我们需要使i*p=i₁*p^y，此时i₁与p互质，这样就可以转化为情况二去解决问题了

那么我们怎么求得i₁以及y呢？简单粗暴可以暴力去除，最坏复杂度是O（logn）

我们还可以O（1）去求：

对于每一个数，记录它的最小质因数P[i]、它的幂K[i]、还有G[i*p]=P[i*p]^K[i*p]

由于筛的时候每个数都会被它的最小质因数筛掉，所以在break之前，p为i*p的最小质因数

情况二的时候，P[i*p]=p，K[i*p]=1，G[i*p]=p

情况三的时候，由于i*p已经记录最小质因数p了，只需将K[i*p]=K[i]+1就好了，同时G[i*p]=G[i]*p

需要求情况三中的y和i₁的时候，K数组里就是y，可以O（1）求出 i₁=（i*p）/G[i*p] （撒花！！）

此类型题目：

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时间： 2024-11-01 12:33:11

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因为今天有较为充足的时间,于是果断入坑反演OvO 直接上公式和概念: 定理:和是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件,那么我们得到结论在上面的公式中有一个函数,称其为莫比乌斯函数它的定义如下: (1)若,那么 (2)若,均为互异素数,那么 (3)其它情况下对于函数,它有如下的常见性质: (1)对任意正整数有 (2)对任意正整数有 (3)为积性函数数论上积性函数的定义: 积性函数的性质: ① ②积性函数的前缀和也是积性函数由此可以线性求出莫比乌斯函数: mu[1]=1;

hdu1695 GCD（莫比乌斯反演）

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莫比乌斯反演（入门）

细细算来,看反演已经有一两个星期了刚开始的时候也是走了不少的弯路和其他的算法一样,只要你懂了,就会有一种不过如此的感觉(误感觉反演还是刚入门,不过还是先写一篇不完全的总结吧,不然过段时间就要忘记了虽说看反演看了好久才懂,但是现在回头看看,其实很多时间还是花费在弯路上,真正的输出时间不过是最近的一两天建议的前置技能: 容斥的简单应用唯一分解定理欧拉函数的定义积性函数的定义然后就可以看反演啦反演推荐的资料还是贾志鹏线性筛不要在电脑上直接过一遍就算看过了,这个资料上面有一些不加证

BZOJ 4036: [HAOI2015]按位或集合幂函数莫比乌斯变换莫比乌斯反演

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bzoj 2820 / SPOJ PGCD 莫比乌斯反演

那啥bzoj2818也是一样的,突然想起来好像拿来当周赛的练习题过,用欧拉函数写掉的. 求$(i,j)=prime$对数 \begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[(i,j)=p]&=&\sum_{p=2}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}[i⊥j]\newline&=&\sum_{p=

hdu1695(莫比乌斯反演)

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算法学习——莫比乌斯反演(1)

.. 省选GG了,我果然还是太菜了.. 突然想讲莫比乌斯反演了那就讲吧! 首先我们看一个等式-- (d|n表示d是n的约束) 然后呢,转换一下于是,我们就发现! 没错!F的系数是有规律的! 规律is here! 公式: 这个有什么卵用呢? 假如说有一道题 F(n)可以很simple的求出来而求f(n)就比较difficult了,该怎么办呢? 然后就可以用上面的式子了是莫比乌斯函数,十分有趣定义如下: 若d=1,则=1 若d=p1*p2*p3...*pk,且pi为互异素数,则=(-1)^k

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BZOJ2301: [HAOI2011]Problem b 莫比乌斯反演

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