先默认读者有基础的网络流以及费用流的知识前置
1.有上下界无源点汇点的可行流问题：
在本文中指：
原图中没有任何一个点可以凭空产生流量，亦没有任何一个点可以凭空消灭流量；
存在边既有流量上界又有流量下界；
求每条边流量的一组可行解；
满足每个点的入流量等于出流量；
由题意可见本题的图中有环，于是此类问题也被称作循环流；
这里给出的解法是将本题转换为一道普通的有上界最大流问题；
修改本题原图中每条边的流量下界为0，上界为原上界-原下界；
视为该边现在已经拥有了等同于该边流量下界的基础流量了，
然而，由于每条边在原图中的流量下界不同，导致他们现在的基础流量不同；
于是如果再让现在图中每个点出入相等，则表面相等，实则不同；
考虑当现在图中一条边i将x的流量汇入点a，实则汇入x+low[i]的流量（low[i]为i的下界），于是应当有额外一条low[i]的边连入a
考虑当现在图中一条边i将x的流量运出点a，实则运出x+low[i]的流量（low[i]为i的下界），于是应当有额外一条low[i]的边自a连出
由于这些额外的流量在现在图中看来是凭空产生的，所以所有连入原图的边应当自一个额外的源点出发，设为S`
同理，所有连出原图的边应当去往一个额外的汇点，设为T`
然后，跑S`到T`的最大流，希望他可以是附加的边可以满流；
若附加边可以满流，则跑出了一组可行流，原图中每条边的可行流是他在现在图中对应边的流量加流量下界
若不满流，则说明无论如何，原图中总会有边达不到下界，于是原图不存在可行流；
注意：存在优化——即可以把所有同起点同终点的边等效为一条流量为加和的边，从S`到a的边的流量可以1:1抵消掉从a到T`的流量
2.有上下界无源点汇点的最小费用流问题：
在本文中指：
在上个问题中的图上加权的费用流问题；
这里给出的解法是直接在上题重构的图中，给每条边符合他来历的权值即可；
由于一定附加边满流才有解，于是可以把附加边贡献的费用视为0上后单独算出加到答案中去；
3.有上下界多个有限源汇点的可行流问题：
在本文中指：
在第一个问题的基础上，有些点必须消灭一定的流量，有些点必须产生一定的流量；
对某些必须产生一定流量x的点，从S`连一条上限为x的附加边；
对某些必须消灭一定流量x的点，向T`连一条上限为x的附加边；
跑最大流，期望附加边满流；
4.问题3的最小费用流版本：
在问题3上附上费用，直接跑费用流即可
5.有上下界一组无限流量源汇点的可行流问题：
在本文中指：
存在边既有流量上界又有流量下界；
存在一个源点S可以随意产生流量，存在一个汇点T可以随便消灭流量
求每条边流量的一组可行解；
满足源汇点之外的每个点入流量等于出流量；
可以看出S的流出等于T的流入；
于是建一条从T到S的流量无限的边，本题的图就属于问题1了；
有趣的是，边T->S的流量可以视作原图中S到T的总流量（因为连上此边后，S，T各自的出入相等）
6.问题5的最小费用流版本：
在问题5上附上费用，直接跑费用流即可
7.问题5的最大流版本：
先跑出问题5的一组可行流；
然而这组可行流并不一定是最大流；
发现一个性质，当我们采用增光路算法求解最大流时，并不会修改源点到汇点路径之外的边的流量大小；
这意味着当我们第一次跑出问题5的一组可行解之后（跑这组可行解，即跑从S`到T`的最大流），
在现在的图上直接跑S到T的最大流，
就能保证
1不会影响被视作原图中边流量下界的边的流量情况——他们依然是满流的；
2图上连的T->S的边的退流过程，等价于有一条S->T的边在增广，于是他把第一次可行流的答案加入第二次跑出的最大流中；
也就是说，这时跑出来的最大流可以被认为是满足上下界前提下的最大流；
8.问题7的最小费用流版本：
在问题7上附上费用，直接跑费用流即可
题目：
bzojP2502
有上下界多个无限源点的费用流问题，好像保证了合法
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 const int INF=0x3f3f3f3f;
6 int n,S,T,ansf,answ;
7 struct ss{
8 int next,to,f,v,cp;
9 }e[30010];
10 int first[210],num;
11 int in[210];
12 int que[100010],dis[210],vis[210],flow[210],pre[210],way[210];
13 void bui_(int ,int ,int ,int );
14 void build(int ,int ,int ,int );
15 bool spfa();
16 void EK();
17 int main()
18 {
19 int i,j,k,l,o;
20 scanf("%d",&n);
21 S=n+1,T=S+1;
22 for(i=1;i<=n;i++)
23 bui_(S,i,INF,1);
24 for(i=1;i<=n;i++){
25 scanf("%d",&k),o=0;
26 for(j=1;j<=k;j++){
27 scanf("%d",&l);
28 bui_(i,l,INF,0);
29 in[l]++;o++;
30 }
31 bui_(i,T,o,0);
32 }
33 for(i=1;i<=n;i++)
34 bui_(S,i,in[i],0);
35 while(spfa())
36 EK();
37 printf("%d\n",ansf);
38 return 0;
39 }
40 void bui_(int f,int t,int fi,int vi){
41 build(f,t,fi,vi),e[num].cp=num+1;
42 build(t,f,0,-vi),e[num].cp=num-1;
43 }
44 void build(int f,int t,int fi,int vi){
45 e[++num].next=first[f];
46 e[num].to=t,e[num].f=fi,e[num].v=vi;
47 first[f]=num;
48 }
49 bool spfa(){
50 int i,h=0,t=1;
51 for(i=1;i<=T;i++)vis[i]=0,dis[i]=0x3f3f3f3f;
52 dis[S]=0,flow[S]=INF,que[t]=S;
53 while(h<t){
54 vis[que[++h]]=0;
55 for(i=first[que[h]];i;i=e[i].next)
56 if(e[i].f&&dis[e[i].to]>dis[que[h]]+e[i].v){
57 dis[e[i].to]=dis[que[h]]+e[i].v;
58 pre[e[i].to]=que[h],way[e[i].to]=i;
59 flow[e[i].to]=min(e[i].f,flow[que[h]]);
60 if(!vis[e[i].to]){
61 que[++t]=e[i].to;
62 vis[que[t]]=1;
63 }
64 }
65 }
66 return dis[T]!=0x3f3f3f3f;
67 }
68 void EK(){
69 int i;
70 ansf+=(flow[T]*dis[T]);
71 for(i=T;i;i=pre[i])
72 if(way[i])
73 e[way[i]].f-=flow[T],e[e[way[i]].cp].f+=flow[T];
74 }
Code1
bzojP3876
同上，
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 const int INF=1000000000;
6 int n,S,T,ansf;
7 struct ss{
8 int to,next,f,v,cp;
9 }e[26010];
10 int first[1000],num;
11 int in[1010];
12 int que[1000010],vis[1010],dis[1010],pre[1010],flow[1010],way[1010];
13 void bui_(int ,int ,int ,int );
14 void build(int ,int ,int ,int );
15 bool spfa();
16 void EK();
17 int main()
18 {
19 int i,j,k,b,t,su;
20 scanf("%d",&n);
21 S=n+1,T=S+1;
22 bui_(S,1,INF,0);
23 for(i=1;i<=n;i++){
24 scanf("%d",&k);
25 for(j=1;j<=k;j++){
26 scanf("%d%d",&b,&t);
27 bui_(i,b,INF,t);
28 bui_(i,T,1,t);
29 in[b]++,su+=t;
30 }
31 }
32 for(i=1;i<=n;i++)
33 if(in[i])
34 bui_(S,i,in[i],0);
35 bui_(S,1,INF,0);
36 while(spfa())
37 EK();
38 printf("%d\n",ansf);
39 }
40 void bui_(int f,int t,int fi,int vi){
41 build(f,t,fi,vi),e[num].cp=num+1;
42 build(t,f,0,-vi),e[num].cp=num-1;
43 }
44 void build(int f,int t,int fi,int vi){
45 e[++num].next=first[f];
46 e[num].to=t,e[num].f=fi,e[num].v=vi;
47 first[f]=num;
48 }
49 bool spfa(){
50 int i,h=0,t=1;
51 memset(vis,0,sizeof(vis));
52 memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
53 dis[S]=0,flow[S]=INF,que[t]=S;
54 while(h<t){
55 vis[que[++h]]=0;
56 for(i=first[que[h]];i;i=e[i].next)
57 if(e[i].f&&dis[e[i].to]>dis[que[h]]+e[i].v){
58 dis[e[i].to]=dis[que[h]]+e[i].v;
59 pre[e[i].to]=que[h],way[e[i].to]=i;
60 flow[e[i].to]=min(e[i].f,flow[que[h]]);
61 if(!vis[e[i].to]){
62 que[++t]=e[i].to;
63 vis[que[t]]=1;
64 }
65 }
66 }
67 return dis[T]!=0x3f3f3f3f;
68 }
69 void EK(){
70 int i;
71 ansf+=(flow[T]*dis[T]);
72 for(i=T;i;i=pre[i])
73 if(way[i])
74 e[way[i]].f-=flow[T],e[e[way[i]].cp].f+=flow[T];
75 }
Code2
bzojP2055
有上下界一个有上限源点的费用流问题，注意拆点限制流量
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 const int INF=0x3f3f3f3f;
6 int n,m,S,T,ansf,answ;
7 struct ss{
8 int next,to,f,v,cp;
9 }e[30010];
10 int first[210],num;
11 int que[100010],dis[210],vis[210],flow[210],pre[210],way[210];
12 void bui_(int ,int ,int ,int );
13 void build(int ,int ,int ,int );
14 bool spfa();
15 void EK();
16 int main()
17 {
18 int i,j,k;
19 scanf("%d%d",&n,&m);
20 S=(n<<1)+2,T=S+1;
21 bui_(S,S-1,m,0);
22 for(i=1;i<=n;i++){
23 scanf("%d",&j);
24 bui_(i,T,j,0),bui_(S,i+n,j,0);
25 bui_(S-1,i,INF,0);
26 }
27 for(i=1;i<n;i++)
28 for(j=1;j<=n-i;j++){
29 scanf("%d",&k);
30 if(k!=-1)
31 bui_(i+n,i+j,INF,k);
32 }
33 while(spfa())
34 EK();
35 printf("%d\n",ansf);
36 return 0;
37 }
38 void bui_(int f,int t,int fi,int vi){
39 build(f,t,fi,vi),e[num].cp=num+1;
40 build(t,f,0,-vi),e[num].cp=num-1;
41 }
42 void build(int f,int t,int fi,int vi){
43 e[++num].next=first[f];
44 e[num].to=t,e[num].f=fi,e[num].v=vi;
45 first[f]=num;
46 }
47 bool spfa(){
48 int i,h=0,t=1;
49 for(i=1;i<=T;i++)vis[i]=0,dis[i]=0x3f3f3f3f;
50 dis[S]=0,flow[S]=INF,que[t]=S;
51 while(h<t){
52 vis[que[++h]]=0;
53 for(i=first[que[h]];i;i=e[i].next)
54 if(e[i].f&&dis[e[i].to]>dis[que[h]]+e[i].v){
55 dis[e[i].to]=dis[que[h]]+e[i].v;
56 pre[e[i].to]=que[h],way[e[i].to]=i;
57 flow[e[i].to]=min(e[i].f,flow[que[h]]);
58 if(!vis[e[i].to]){
59 que[++t]=e[i].to;
60 vis[que[t]]=1;
61 }
62 }
63 }
64 return dis[T]!=0x3f3f3f3f;
65 }
66 void EK(){
67 int i;
68 ansf+=(flow[T]*dis[T]);
69 for(i=T;i;i=pre[i])
70 if(way[i])
71 e[way[i]].f-=flow[T],e[e[way[i]].cp].f+=flow[T];
72 }
Code3
bzojP3698
有上下界一组源汇点的最大流问题；
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 using namespace std;
4 const int INF=0x3f3f3f3f;
5 int n,S,T;
6 int in[210],out[210];
7 struct ss{
8 int next,to,f,cp;
9 }e[100010];
10 int first[210],num;
11 int que[1000010],dep[210],cut[210];
12 void bui_(int ,int ,int );
13 void build(int ,int ,int );
14 bool bfs();
15 int dfs(int ,int );
16 int main()
17 {
18 int i,j,k,add,ans=0;
19 double inpu;
20 scanf("%d",&n);
21 S=(n<<1)+1,T=S+1;
22 for(i=1;i<=n;i++)
23 for(j=1;j<=n;j++){
24 scanf("%lf",&inpu);
25 if(i==n&&j==n)continue;
26 if(i==n){
27 if(inpu>(int(inpu)))
28 bui_(j+n-1,T-2,1);
29 in[T-2]+=int(inpu),out[j+n-1]+=int(inpu);
30 continue;
31 }
32 if(j==n){
33 if(inpu>(int(inpu)))
34 bui_(S-2,i,1);
35 in[i]+=int(inpu),out[S-2]+=int(inpu);
36 continue;
37 }
38 if(inpu>(int(inpu)))
39 bui_(i,j+n-1,1);
40 in[j+n-1]+=int(inpu),out[i]+=int(inpu);
41 }
42 bui_(T-2,S-2,INF);
43 for(i=1;i<=T;i++){
44 if(in[i]>out[i])bui_(S,i,in[i]-out[i]);
45 if(out[i]>in[i])bui_(i,T,out[i]-in[i]),ans+=out[i]-in[i];
46 }
47 while(bfs())
48 while(add=dfs(S,INF))
49 ans-=add;
50 if(ans){
51 printf("No\n");
52 return 0;
53 }
54 S-=2,T-=2;
55 while(bfs())
56 while(add=dfs(S,INF))
57 ans+=add;
58 printf("%d\n",ans*3);
59 return 0;
60 }
61 void bui_(int f,int t,int fi){
62 build(f,t,fi),e[num].cp=num+1;
63 build(t,f,0),e[num].cp=num-1;
64 }
65 void build(int f,int t,int fi){
66 e[++num].next=first[f];
67 e[num].to=t,e[num].f=fi;
68 first[f]=num;
69 }
70 bool bfs(){
71 int i,h=0,t=1;
72 memset(dep,0,sizeof(dep));
73 for(i=1;i<=T;i++)cut[i]=first[i];
74 que[t]=S,dep[S]=1;
75 while(h<t){
76 h++;
77 for(i=first[que[h]];i;i=e[i].next)
78 if(e[i].f&&!dep[e[i].to]){
79 que[++t]=e[i].to;
80 dep[que[t]]=dep[que[h]]+1;
81 }
82 }
83 return dep[T];
84 }
85 int dfs(int now,int flow){
86 int i,ret=0;
87 if(now==T)
88 return flow;
89 for(i=cut[now];i;i=e[i].next)
90 if(e[i].f&&dep[e[i].to]==dep[now]+1){
91 ret=dfs(e[i].to,flow<e[i].f?flow:e[i].f);
92 if(ret){
93 e[i].f-=ret;
94 e[e[i].cp].f+=ret;
95 cut[now]=i;
96 return ret;
97 }
98 }
99 cut[now]=0;
100 return 0;
101 }
Code3
吐槽一句：
bzoj什么也跑不过，luogu点数26w边数150w都跑得过
原文地址：https://www.cnblogs.com/nietzsche-oier/p/8185805.html
时间： 2024-08-25 13:23:58