赫夫曼树

一、前言

赫夫曼树，又称最优树，是一类带权路径长度最短的树。

二、基础知识

1、路径长度：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径，路径上分支数目称为路径长度。

2、树的路径长度：是从树根到每一个结点的路径长度之和。完全二叉树就是路径长度最短的二叉树。

3、树带权路径长度：为树中所有叶子结点的带权路径长度之和（记做WPL）。

4、最优二叉树或者赫夫曼树：假设有n个权值（w1,w2,w3,w4，，，，，，wn）。试构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权为wi,其中称带权路径长度WPL最小的二叉树称为最优二叉树或者赫夫曼树。

WPL(a) = 2*7+2*5+2*2+2*4 = 36

WPL(b) = 2*4+3*7+3*5+2*1 = 46

WPL(c) = 1*7+2*5+3*2+3*4 = 35

其中以c树的最小，可以验证，它恰为赫夫曼树，即其带权路径长度再所有带权为7，5，2，4的4个叶子结点的二叉树中居最小。

5、赫夫曼树的构造

假设有n个权值，则构造出的赫夫曼树有n个叶子结点。n个权值分别设为w1，w2，w3,,,,,,,wn:

(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；

(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。