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【C++】
动态规划—矩阵链乘
1、问题描述
给定n个矩阵构成的一个链给定｛A1,A2,…,An｝,其中i=1，2，...,n.矩阵Ai的维数为pi-1*pi，如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
2、最优子结构
对乘积A1A2...An的任意加括号方法都会将序列在某个地方分成两部分，也就是最后一次乘法计算的地方，我们将这个位置记为k，也就是说首先计算A1...Ak和Ak+1...An，然后再将这两部分的结果相乘。
最优子结构如下：假设A1A2...An的一个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀子链A1...Ak的加括号方式必定为A1...Ak的一个最优加括号，后缀子链同理。
一开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割乘积。
3、状态转移方程
4、代码实现
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 //p为矩阵链，p[0],p[1]代表第一个矩阵，p[1],p[2]代表第二个矩阵，length为p的长度
4 //所以如果有六个矩阵，length=7，m为存储最优结果的二维矩阵，t为存储选择最优结果路线的
5 //二维矩阵
6 void MatrixChainOrder(int *p,int (*m)[10],int (*t)[10],int length)
7 {
8 int n=length-1;
9 int i,j,k,q,num=0;
10 //A[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0;
11 for(i=1;i<length;i++)
12 {
13 m[i][i]=0;
14 }
15 //i代表矩阵链的长度，i=2表示有两个矩阵相乘时如何划分
16 for(i=2;i<=n;i++)
17 {
18 //j表示从第j个矩阵开始的i个矩阵如何划分是最优
19 for(j=1;j<=n-i+1;j++)
20 {
21 //k为从第j个数i个矩阵就是k，从j到k表示他们之间的i个矩阵如何划分
22 k=j+i-1;
23 //m[j][k]存储了从j到k使用最佳划分所得到的最优结果
24 m[j][k]=0x7fffffff;
25 //q为介于j到k-1之间的数，目的是利用q对j到k之间的矩阵进行试探性的划分，
26 //从而找到最优划分，这是一种遍历性的试探。
27 for(q=j;q<=k-1;q++)
28 {
29 num=m[j][q]+m[q+1][k]+p[j-1]*p[q]*p[k];
30 if(num<m[j][k])
31 {
32 m[j][k]=num;
33 t[j][k]=q;
34 }
35 }
36 }
37 }
38 }
39 void PrintAnswer(int(*t)[10],int i,int j)
40 {
41 if(i==j)
42 {
43 cout<<"A"<<i;
44 }
45 else
46 {
47 cout<<"(";
48 PrintAnswer(t,i,t[i][j]);
49 PrintAnswer(t,t[i][j]+1,j);
50 cout<<")";
51 }
52
53 }
54 int main()
55 {
56 int p[7]={30,35,15,5,10,20,25};
57 int m[10][10],t[10][10];
58 MatrixChainOrder(p,m,t,7);
59 MatrixChainOrder(p,m,t,7);
60 PrintAnswer(t,1,6);
61 cout<<endl;
62 return 0;
63 }
【C++】 动态规划—矩阵链乘
时间： 2024-10-17 05:50:08