1)将向量组进行消元，变换成阶梯矩阵，这是求向量组的极大线性无关组的基本算法。这个方法在前面曾经给出过，但在这里做了改进，目的是为了可以判断是否线性相关：
/// <summary>
/// 方程组消元，最后一列为系数,结果就在CoefficientDeterminant里.
/// 本算法也可以用来求矩阵的秩.
/// </summary>
/// <param name="CoefficientDeterminant">方程组系数数组</param>
public static void EquationsElimination(decimal[,] CoefficientDeterminant)
{
var theRowCount = CoefficientDeterminant.GetLength(0);
var theColCount = CoefficientDeterminant.GetLength(1);
int theN = theRowCount;
int theE = theColCount-1;
//从第1列到第theE-1列,最后一列不用处理.
for (int i = 0; i < theE; i++)
{
//从第theN-1行到第1行，将D[j,i]依次变为0,需要注意的是：
//如果第j-1行，的左元素全部为0，才能继续交换.
for (int j = theN - 1; j > 0; j--)
{
//如果为当前值为0，则不处理,继续处理上一行
if (CoefficientDeterminant[j, i] == 0)
{
continue;
}
//如果左上邻元素[j-1, i-1]以及其左边的元素都为0方可交换
//因为当前元素的左边元素已经全部是零，因此如果要交换不能使本行左边产生非零数，
//则需要左上邻及其所有元素皆为0.
for (int s = i - 1; s >= 0; s--)
{
if (CoefficientDeterminant[j - 1, s] != 0)
{
break;
}
}
//如果[j,i]的上一行[j-1, i]的值为0则交换
if (CoefficientDeterminant[j - 1, i] == 0)
{
for (int k = 0; k <= theE; k++)//这里要交换常数项，所以是k <= theE
{
decimal theTmpDec = CoefficientDeterminant[j, k];
CoefficientDeterminant[j, k] = CoefficientDeterminant[j - 1, k];
CoefficientDeterminant[j - 1, k] = theTmpDec;
}
}
else
{
//将当前行减去上一行与theRate的积。
//var theRate = CoefficientDeterminant[j, i] / CoefficientDeterminant[j - 1, i];
//for (int k = 0; k <= theE; k++)//这里要计算常数项，所以是k <= theE
//{
// CoefficientDeterminant[j, k] = CoefficientDeterminant[j, k] - CoefficientDeterminant[j - 1, k] * theRate;
//}
//改进：做乘法，可以避免小数换算带来的误差
var theRate2 = CoefficientDeterminant[j, i];
var theRate1 = CoefficientDeterminant[j - 1, i];
for (int k = 0; k <= theE; k++)//这里要计算常数项，所以是k <= theE
{
CoefficientDeterminant[j, k] = CoefficientDeterminant[j, k] * theRate1 - CoefficientDeterminant[j - 1, k] * theRate2;
}
}
}
}
}
后面的矩阵求秩的过程也会用到这种消元法，不过后面的矩阵求秩在这个算法上略有修改，采用了另外一种方式。下面是向量相关的算法：
/*Vector.cs
* Albert.Tian on 20141225
*/
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace MyMathLib
{
/// <summary>
/// 向量相关运算，这里没有给出向量的基本变换。因为
/// 向量组可以用矩阵表达，因此很多向量的运算最终都归于矩阵运算。
/// 本算法中的求极大线性无关组，是根据课本算法得出，不是最简单的一种方法，
/// 在矩阵表达中，可以根据矩阵的初等变换，很容易求到极大线性无关组.
/// </summary>
public class Vectors
{
/// <summary>
/// 判断从0到指定结束位的元素是否全是0.
/// </summary>
/// <param name="CurrVector">当前向量</param>
/// <param name="EndIndex">结束索引</param>
/// <returns></returns>
public static bool IsZeroVector(decimal[] CurrVector, int EndIndex = 0)
{
int theEndIndex = EndIndex;
if (theEndIndex == 0)
{
theEndIndex = CurrVector.Length;
}
var theIsZeroVector = true;
for (int i = 0; i < theEndIndex; i++)
{
if (CurrVector[i] != 0)
{
theIsZeroVector = false;
break;
}
}
return theIsZeroVector;
}
/// <summary>
/// 判断当前向量是否与前面的向量线性相关，采用的是消元化
/// </summary>
/// <param name="CurrVector">当前向量</param>
/// <param name="PrevMaxLIVectors">已有的线性无关的向量组</param>
/// <returns></returns>
private static bool IsLinearCorrelation(decimal[] CurrVector, List<decimal[]> PrevMaxLIVectors)
{
//零向量必是线性相关
var theIsZeroVector = IsZeroVector(CurrVector);
if (theIsZeroVector)
{
return true;
}
//如果前面没有向量，则当前非零向量必是线性无关的.
if (PrevMaxLIVectors.Count <= 0)
{
return false;
}
//构造方程式，判断是否线性相关
var theECount = CurrVector.Length;
var theVCount = PrevMaxLIVectors.Count;
//加入当前向量为常量向量,因此方程组的列为theVCount+1.
var theEquealGroup = new decimal[theECount, theVCount + 1];
//导入PrevMaxLIVectors
for (int i = 0; i < theVCount; i++)
{
for (int j = 0; j < theECount; j++)
{
theEquealGroup[j, i] = PrevMaxLIVectors[i][j];
}
}
//加入当前向量作为常量向量
for (int j = 0; j < theECount; j++)
{
theEquealGroup[j, theVCount] = CurrVector[j];
}
//消元,这里的消元法变成了求矩阵秩的基本算法.
LinearAlgebra.EquationsElimination(theEquealGroup);
//如果theRA<theRA1，则有矛盾方程，必然线性无关，如果theRA>=theRA1，则至少有一个非零解。
//这里如此判断，主要是因为消元的方法。当然，这在矩阵有证。
var theRA = 0;
var theRA1 = 0;
for (int i = 0; i < theECount; i++)
{
if (!IsZeroVector(theEquealGroup.GetVector(i), theVCount))
{
theRA++;
}
if (!IsZeroVector(theEquealGroup.GetVector(i)))
{
theRA1++;
}
}
return (theRA >= theRA1);
}
/// <summary>
/// 这个函数暂时无用，判断两个向量的等价性
/// </summary>
/// <param name="V1"></param>
/// <param name="V2"></param>
/// <returns></returns>
private static bool IsEquivalent(decimal[] V1, decimal[] V2)
{
var theV1IsZeroVector = IsZeroVector(V1);
var theV2IsZeroVector = IsZeroVector(V2);
//两个都是0向量
if (theV1IsZeroVector && theV2IsZeroVector)
{
return true;
}
//其中一个零向量，另一个是非零向量
if (theV1IsZeroVector || theV2IsZeroVector)
{
return false;
}
//一个分量肯定成比例
if (V1.Length <= 1)
{
return true;
}
decimal thePreRate = 0;
var theCount = V1.Length;
var theIndex = 0;
for (int i = 0; i < theCount; i++)
{
//如果都等于0，则不比较
if (V1[i] == V2[i] && V2[i] == 0)
{
continue;
}
//如果其中一个是0，则必然不成比例,不等价
if (V1[i] == 0 || V2[i] == 0)
{
return false;
}
if (theIndex == 0)
{
thePreRate = V1[i] / V2[i];
theIndex++;
}
else
{
if (thePreRate != V1[i] / V2[i])
{
return false;
}
}
}
return true;
}
/// <summary>
/// 获取向量组的极大线性无关组，方法是依照教科书写的。
/// </summary>
/// <param name="Vectors">向量组</param>
/// <returns></returns>
public static List<decimal[]> GetMaxLinearIndependentGroup(decimal[,] Vectors)
{
//向量个数
var theVCount = Vectors.GetLength(0);
//元数个数
var theECount = Vectors.GetLength(1);
List<decimal[]> theTempVectors = new List<decimal[]>();
for (int i = 0; i < theVCount; i++)
{
var theTempVector = Vectors.GetVector(i);
//如果当前向量不能被前面的向量线性表出，则加入到极大组
//能不能线性表出，实际上就是求当前向量加入前面的向量组后，
//还是不是线性相关
if (!IsLinearCorrelation(theTempVector, theTempVectors))
{
theTempVectors.Add(theTempVector);
}
}
return theTempVectors;
}
}
}
时间： 2024-10-27 14:03:01