【信号与系统】3.DT 中的反馈和极点

1.定义

在下列简单的反馈系统中，系统对单位冲击信号的相应为几何级数。

整个系统的性质主要和p0的值有关。P0就是极点（pole）。

PS：若p0小于0时，该系统的冲击响应在正负之间反复震荡。若p0的绝对值小于1，系统的单位冲击响应收敛；若p0的绝对值大于1，则系统的单位冲击响应发散。

2.二阶反馈系统

系统差分方程中出现y[n-2]的系统称为二阶系统。下面是个二阶系统的例子。

使用R操作符和多项式因式分解的方法，将上述系统等价变形为两个串联的基本一阶反馈系统。

使用无穷级数的相关知识，可将反馈系统转化为一个不包含环的非反馈系统。

上述二阶系统还能转化为下列"并联"的形式。

二阶系统的极点被定义如下。将2阶系统的系统泛函中的R替换为1/z，然后再找到系统泛函分子等于0的两个根p0和p1。这两个根就是该二阶系统的极点。上述系统的极点为0.7和0.9。

3. 二阶系统举例

斐波那契系统为二阶系统。其中x[n]为迁入和迁出的兔子。若x[n]只在0处等于1且y[-1]和y[-2]都为0，则系统输出一个斐波那契数列。即下列系统在初始状态为0的情况下的单位冲击响应为斐波那契数列。

通过令R = 1 / z然后去求分母的根的方式，可得到该二阶系统的两个极点，其中一个极点为黄金分割率，另一个为黄金分割比的负倒数。

通过对斐波那契系统的系统泛函进行下列变化，可将该二阶系统转化为两个并行一阶系统的和。从而，可得到斐波那契系统的单位冲击响应为两个几何级数的和。

上述系统的冲击响应就是一个整数数列，就是那个著名斐波那契数列。实际上计算机使用上述公式就可计算得到斐波那契数列，就不需要使用算法课上所使用的迭代方法了。

4.二阶系统极点为复数的情况

先说结论。即使一个真实的系统的极点为复数，那它的输出必定为实数。计算过程的复数会在得到输出信号的过程中消除掉，最终得到实数输出。此外，由于欧拉公式的存在，两个极点为复数的系统多半和正余弦有关。若一个一阶系统的极点为复数，则这个系统的输出只能是复数，这个系统不是真实的系统，而可能是某个真实系统的一部分。

下面举个例子。