Description
方伯伯有一天去参加一个商场举办的游戏。商场派了一些工作人员排成一行。每个人面前有几堆石子。说来也巧,位置在 i 的人面前的第 j 堆的石子的数量,刚好是 i 写成 K 进制后的第 j 位。
现在方伯伯要玩一个游戏,商场会给方伯伯两个整数 L,R。方伯伯要把位置在 [L, R] 中的每个人的石子都合并成一堆石子。每次操作,他可以选择一个人面前的两堆石子,将其中的一堆中的某些石子移动到另一堆,代价是移动的石子数量 * 移动的距离。商场承诺,方伯伯只要完成任务,就给他一些椰子,代价越小,给他的椰子越多。所以方伯伯很着急,想请你告诉他最少的代价是多少。
例如:10 进制下的位置在 12312 的人,合并石子的最少代价为:
1 * 2 + 2 * 1 + 3 * 0 + 1 * 1 + 2 * 2 = 9
即把所有的石子都合并在第三堆
Input
输入仅有 1 行,包含 3 个用空格分隔的整数 L,R,K,表示商场给方伯伯的 2 个整数,以及进制数
HINT
1 < = L < = R < = 10^15, 2 < = K < = 20
Solution
说白了,这个题就是给了L~R的数,每个数的每个数位是一堆石子,把这堆石子合成一个位置,求总的最小代价。
法一:GZZ法
发现,对于一个数字P,假设钦定最终合并位置是p,
调整的时候,p向左移动一位,代价变化是p及右边所有的数位和-p左边所有数位和。
p向右移动一位,代价变化是p及左边所有数位和-p右边所有数位和。
设最优的位置的数字是x,位置是p,p左边数位和是a,右边是b
那么,一定有不等式:x+a-b>=0 ; x+b-a>=0 就是说,x不论往左往右移动,代价的变化总是增大的。
即:-x<=a-b<=x
所以,如果知道最终填的a-b,和x,p,就可以判断这个p位置填x是不是左边a,右边b的最优解了。
枚举p,x;
伪代码:(cnt是最高位,进制用m,填数用k)
for(p=1~cnt)
for(x=0~m-1)
for(i=cnt~1)
for(a-b=-200~+200)
设f[i][a-b][0/1]表示,填完第i位,a-b的值,有没有限制情况下,所有符合情况的数移动到p位置所花费的代价。
g[i][a-b][0/1]表示,f的方案数,即满足情况的数的个数,方便转移。
if(i==p){
continue;
}
for(k=0;k<m;k++){
if(i<p)
else
}
在i循环完之后,
for(a-b=-200~+200)
if(-x<=a-b<x) ret+=f[1][a-b][0/1]
注意这里是<=和<,因为可能一个数字有两个位置都是最优的合并位置,只能算一遍。
代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N=70; const int M=22; const int fix=201; const int up=402; ll f[N][405][2]; ll g[N][405][2]; ll L,R; int m; ll ansl,ansr; int a[N],cnt; ll wrk(){ ll ret=0; for(int p=1;p<=cnt;p++){ for(int x=0;x<m;x++){ memset(f,0,sizeof f); memset(g,0,sizeof g); g[cnt+1][fix][1]=1; for(int i=cnt;i>=1;i--){ for(int j=0;j<=up;j++){ if(i==p){ if(x<a[i]){ if(g[i+1][j][0]) g[i][j][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j][0]+=f[i+1][j][0]; if(g[i+1][j][1]) g[i][j][0]+=g[i+1][j][1],f[i][j][0]+=f[i+1][j][1]; } else if(x==a[i]){ g[i][j][1]+=g[i+1][j][1],f[i][j][1]+=f[i+1][j][1]; g[i][j][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j][0]+=f[i+1][j][0]; } else{ g[i][j][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j][0]+=f[i+1][j][0]; } continue; } for(int k=0;k<m;k++){ if(i>p){//before if(j+k>up) continue; if(k<a[i]){ g[i][j+k][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j+k][0]+=f[i+1][j][0]+(i-p)*k*g[i+1][j][0]; g[i][j+k][0]+=g[i+1][j][1],f[i][j+k][0]+=f[i+1][j][1]+(i-p)*k*g[i+1][j][1]; } else if(k==a[i]){ g[i][j+k][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j+k][0]+=f[i+1][j][0]+(i-p)*k*g[i+1][j][0]; g[i][j+k][1]+=g[i+1][j][1],f[i][j+k][1]+=f[i+1][j][1]+(i-p)*k*g[i+1][j][1]; } else{ g[i][j+k][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j+k][0]+=f[i+1][j][0]+(i-p)*k*g[i+1][j][0]; } } else{//after if(j-k<0) continue; if(k<a[i]){ f[i][j-k][0]+=f[i+1][j][0]+g[i+1][j][0]*(p-i)*k,g[i][j-k][0]+=g[i+1][j][0]; f[i][j-k][0]+=f[i+1][j][1]+g[i+1][j][1]*(p-i)*k,g[i][j-k][0]+=g[i+1][j][1]; } else if(k==a[i]){ f[i][j-k][0]+=f[i+1][j][0]+g[i+1][j][0]*(p-i)*k,g[i][j-k][0]+=g[i+1][j][0]; f[i][j-k][1]+=f[i+1][j][1]+g[i+1][j][1]*(p-i)*k,g[i][j-k][1]+=g[i+1][j][1]; } else{ f[i][j-k][0]+=f[i+1][j][0]+g[i+1][j][0]*(p-i)*k,g[i][j-k][0]+=g[i+1][j][0]; } } } } } for(int j=0;j<=up;j++){ if((fix-x<=j)&&(j<x+fix)){ ret+=f[1][j][0]+f[1][j][1]; } } } } return ret; } int main(){ scanf("%lld%lld",&L,&R); scanf("%d",&m); L--; cnt=0; while(L){ a[++cnt]=L%m; L/=m; } if(cnt==0){ ansl=0; } else{ ansl=wrk(); } cnt=0; while(R){ a[++cnt]=R%m; R/=m; } ansr=wrk(); printf("%lld",ansr-ansl); }
法二:大众法。
直接钦定1号位置是最优位置,计算出来所有的总和ans
调整。
枚举位置p从2~cnt,表示要计算从p-1移动到p,会有多少个数的代价减少多少。
代价就是,sum(1,p-1)-sum(p,cnt)
设f[i][a-b][0/1]表示,第i位,这个sum的差值,有没有限制情况下,多少个数符合这个情况。
循环完一个p之后,
把a-b<0的f,ans-=(a-b)*f[i][a-b][0/1]
a-b>=0的不管。
这样进行cnt次,一定可以把所有的数移动到最优解的位置。
网上题解很多,代码就不贴了。(我也没写)
原文地址:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9526948.html