2018 Multi-University Training Contest 2
A - Problem A. Ascending Rating
题目描述：给定一个序列，分别求出所有长度为\(m\)的区间的\(maxrating, count\)，对于每个长度为\(m\)的区间，一开始\(maxrating=-1, count=0\)，然后从左往右扫，扫到一个大于\(maxrating\)的值时，\(count+1, maxrating=\)那个数。
solution
从左往右做，用单调队列维护当前一段单调不上升的序列，当添加一个数进来时，删掉的数的下一个最大值就是新加进来的数，将下一个最大值看成父亲，用并查集维护，那么一个区间的答案就是区间左端点的根的值和到根的距离。每个数只会进队一次，退队一次，因此时间复杂度是\(O(n)\)
时间复杂度:\(O(n)\)
C - Problem C. Dynamic Graph Matching
题目描述：有\(n\)个点，有\(m\)次操作，每次操作要么加一条边，要么删一条边，求出每次操作后，对于所有的\(k\), 恰好\(k\)条边的匹配（即\(2k\)个点两个两个匹配）方案数。
solution
记\(f[sett]\)表示\(sett\)集合的点已匹配的方案数，加一条边\((u, v)\),就枚举除去\(u, v\)的集合，更新加上\(u, v\)的答案，删除类似。
时间复杂度：\(O(m2^n)\);
D - Problem D. Euler Function
题目描述：求出第\(k\)个欧拉函数是合数的\(n\).
solution
第一个是\(5\)，第二个是\(7\)，考虑\(n>7\)
令\(n=2^dx\)，因为欧拉函数是积性函数，所以\(\varphi(n)=\varphi(2^d)\varphi(x)\)
若\(x=1\)，则\(\varphi(n)=\varphi(2^d)=2^{d-1}\)合数
若\(x\neq 1\), 则\(\varphi(x) \neq 1\), 所以\(\varphi(n)\)合数
因此\(n>7\)的欧拉函数都是合数。
时间复杂度：\(O(1)\)
F - Problem F. Grab The Tree
题目描述：给定一棵树，树上有点权，每次\(A\)选一个点拿走，然后\(B\)把\(A\)选的点的邻点拿走，最后把整棵树拿走，每个人把拿走的点的权值异或起来，谁大谁赢，问在最优策略下，最终的结果。
solution
假设\(A\)的值是\(x\)，则\(B\)的值为整棵树的值的异或和再异或\(x\)，若整棵树的异或和为\(0\)，则平手。否则将这棵树分层，会发现对于一种选取的方案，\(A, B\)选择的点是可以交换的，即交换后也是一种可行的方案，所以\(A\)必胜。
时间复杂度：\(O(n)\)
G - Problem G. Interstellar Travel
题目描述：把原本的题目等价于：当坐标相同时只保留编号较小的点，求字典序最小的凸壳。
solution
字典序最小的凸壳。
时间复杂度：\(O(n)\)
H - Problem H. Monster Hunter
题目描述：有一棵以\(1\)为根的有根树，除了根，每个点都有一只怪物，从根出发，遇到怪物时会先扣\(A_i\)血，再回\(B_i\)血，然后怪物消失，任何时刻的血量不能低于\(0\)，问一开始至少要有多少血，才能打完所有怪。
solution
先不考虑打怪时要先打父亲才能打儿子。那肯定先打\(A_i<B_i\)的怪，对于\(A_i<B_i\)的怪，先打\(A_i\)小的。对于\(A_i \geq B_i\)的怪，考虑\(i, j\)两只怪兽，先打\(i\)，则血量减小\(A_i+A_j-B_i\)，先打\(j\)，则血量减小\(A_i+A_j-B_j\)，因此先打\(B_i\)大的。
假设求出来的攻击顺序为\(p_1, p_2, ..., p_n\)
若\(p_1\)没有父亲，则打\(p_1\)
否则在打完\(p_1\)的父亲后，紧接着打\(p_1\)最优，因此可以将\(p_1\)和父亲合并，将\(p_1\)的儿子的父亲改成\(p_1\)的父亲。
重复操作，每次操作都会少一只怪，所以只要按照打怪的规则维护一个堆，用并查集维护父亲。
时间复杂度：\(O(nlogn)\)
I - Problem I. Random Sequence
题目描述：给定一个序列\(a_i\)，如果\(a_i=0\)，则可以用\([1, m]\)中的数替换，再给定一个长度为\(m\)的数组\(v\)，求
\[\prod_{i=1}^{n-3}v[gcd(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3})]\]
的期望值。
solution
\(f[i][j][k][p]\)表示到第\(i\)个数，前三个数的\(gcd=j\)，前两个数的\(gcd=k\)，前一个数的\(gcd=p\)，然后枚举\(i+1\)是什么数，更新状态。因为\(gcd\)的原因，所以\(j|k, k|p\)，因此状态数不多。
时间复杂度：\(O(能过)\)
L - Problem L. Visual Cube
题目描述：给出长方体的长宽高，输出这个长方体。
solution
找规律。
时间复杂度：\(O(边长^2)\)
M - Problem M. Walking Plan
题目描述：给定一个\(n\)个点，\(m\)条边的有向图，边有权值，\(q\)个询问，每次询问\(u\)到\(v\)至少经过\(k\)条边的最小值。
solution
分块，每走\(100\)步分一块，预处理出每两个点恰好走\(i\)步的最小值，至少走\(i\)步的最小值，然后\(100\)步\(100\)步地走，处理出恰好走\(100i\)步的最小值。询问时先整百地走，再加上至少走\(i\)步的最小值即可。
时间复杂度：\(O(n^3\sqrt{k}+qn)\)
原文地址：https://www.cnblogs.com/GerynOhenz/p/9498713.html