一：图

　　图状结构简称图，是另一种非线性结构，它比树形结构更复杂。树形结构中的结点是一对多的关系，结点间具有明显的层次和分支关系。每一层的结点可以和下一层的多个结点相关，但只能和上一层的一个结点相关。而图中的顶点（把图中的数据元素称为顶点）是多对多的关系，即顶点间的关系是任意的，图中任意两个顶点之间都可能相关。也就是说，图的顶点之间无明显的层次关系，这种关系在现实世界中大量存在。因此，图的应用相当广泛，在自然科学、社会科学和人文科学等许多领域都有着非常广泛的应用。

　　1.1：图的基本概念

　　　1.1.1：图的定义

　　图(Graph)是由非空的顶点（Vertex）集合和描述顶点之间的关系——边（Edge）或弧（Arc）的集合组成。其形式化定义为：

　　G=（V，E）

　　V={v i |v i ∈某个数据元素集合}
　　E={(v i ,v j )|v i ,v j ∈V∧P(v i ,v j )}或E={<v i ,v j >|v i ,v j ∈V∧P(v i ,v j )}

　　其中，G 表示图，V 是顶点的集合，E 是边或弧的集合。在集合 E 中，P(vi,vj)表示顶点 vi 和顶点 vj 之间有边或弧相连。下图给出了图的示例。

　　在图 (a)中，V={v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 }E={(v 1 ,v 2 ),(v 1 ,v 3 ),(v 2 ,v 4 ),(v 2 ,v 5 ),(v 3 ,v 4 ),(v 4 ,v 5 )}

　　在图 (b)中，V={v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 }E={<v 1 ,v 2 >,<v 1 ,v 3 >,<v 2 ,v 3 >,<v 2 ,v 5 ><v 3 ,v 4 >,<v 4 ,v 1 >,<v 4 ,v 5 >}。

　　注：无向边用小括号“()”表示，而有向边用尖括号“<>”表示。

　　1.1.2：图的基本术语

　　1、无向图：在一个图中，如果任意两个顶点v i 和v j 构成的偶对(v i ,v j )∈E是无序的，即顶点之间的连线没有方向，则该图称为无向图(Undirected Graph)。图 (a)是一个无向图。

　　2、有向图：在一个图中，如果任意两个顶点v i 和v j 构成的偶对<v i ,v j >∈E是有序的，即顶点之间的连线有方向，则该图称为有向图(Directed Graph)。图(b)是一个有向图。

　　3、边、弧、弧头、弧尾：无向图中两个顶点之间的连线称为边(Edge)，边用顶点的无序偶对(v i ,v j )表示，称顶点v i 和顶点v j 互为邻接点(Adjacency Point)，(v i ,v j )边依附与顶点v i 和顶点v j 。有向图中两个顶点之间的连线称为弧(Arc)，弧用顶点的有序偶对<v i ,v j >表示，有序偶对的第一个结点v i 称为始点（或弧尾），在图中不带箭头的一端；有序偶对的第二个结点v j 称为终点（或弧头），在图中带箭头的一端。

　　4、无向完全图：在一个无向图中，如果任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为无向完全图(Undirected Complete Graph)。可以证明，在一个含有 n 个顶点的无向完全图中，有 n(n-1)/2 条边。

　　5、有向完全图：在一个有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图(Directed Complete Graph)。可以证明，在一个含有 n 个顶点的有向完全图中，有 n(n-1)条弧。

　　6、顶点的度、入度、出度：在无向图中，顶点 v 的度（Degree）是指依附于顶点 v 的边数，通常记为 TD(v)。在有向图中，顶点的度等于顶点的入度(In Degree)与顶点的出度之和。顶点v的入度是指以该顶点v为弧头的弧的数目，记为ID(v)；顶点 v 的出度(Out Degree)是指以该顶点 v 为弧尾的弧的数目，记为 OD(v)。所以，顶点 v 的度 TD(v)= ID(v)+ OD(v)。

　　例如，在无向图 (a)中有：

　　TD(v 1 )=2 TD(v 2 )=3 TD(v 3 )=2 TD(v 4 )=3 TD(v 5 )=2
　　在有向图 (b)中有：
　　ID(v 1 )=1 OD(v 1 )=2 TD(v 1 )=3
　　ID(v 2 )=1 OD(v 2 )=2 TD(v 2 )=3
　　ID(v 3 )=2 OD(v 3 )=1 TD(v 3 )=3
　　ID(v 4 )=1 OD(v 4 )=2 TD(v 4 )=3
　　ID(v 5 )=2 OD(v 5 )=0 TD(v 5 )=2

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