不相交集合数据结构保持一组不相交的动态集合S={S1,S2,...,SK},每个集合通过一个代表来识别,代表即集合中的某个成员。
如果x表示一个对象,不相交集合支持以下操作:
MAKE-SET(x):建立一个新的集合,其唯一成员为x。因为各集合是不想交的,故x没有在其它集合中出现。
UNION(x,y):将包含x和包含y的集合合并为一个新的集合。
FIND-SET(x):返回包含x的集合。
1.不相交集合的数组表示
在一个数组中保存每个元素所在集合的名称。这样Find操作就是简单的O(1)查找。要执行Union(x,y)操作,假设x在等价类i中,y在等价类j中,
扫描整个数组,将所有的i变为j。连续N-1次Union操作就要花费Θ(N2)的时间。如果Union操作很多,这个界是不可接受的。
2.不相交集合的链表表示
每一个集合用用一个链表来表示。链表的第一个对象作为它所在集合的代表。链表中每个对象都包含一个集合成员,一个指向下一个对象的指针,
以及指向代表的指针。每个链表含head和tail指针,head指向链表的代表,tail指向链表中最后的对象。
Union的简单实现:将x所在的链表拼接到y所在链表的表尾。对于原先x所在链表中的每一个对象都要更新其指向代表的指针。
平均看来,每个操作需要Θ(N)的时间。
加权合并:每个表含表的长度,总是将更短的表连接到长的表的后面。这样,m和MAKE-SET,UNION和FIND-SET操作要花费(m+nlgn)的时间。
class SetNode(object): def __init__(self,key): self.key=key self.next=None self.rep=None class SetEntry(object): def __init__(self): self.head=None self.tail=None self.len=0 class DisjSet(object): def __init__(self,node): self.setlist=[] def make_set(self,node): S=SetEntry() S.head=node S.tail=node S.len=1 node.rep=node self.setlist.append(S) def find(self,node): return node.rep def union(self,node_x,node_y): rep_x=node_x.rep rep_y=node_y.rep if rep_x!=rep_y: for s in self.setlist: if s.head==rep_x: set_x=s elif s.head==rep_y: set_y=s if set_x.len>=set_y.len: set_x.tail.next=rep_y node=rep_y while node is not None: node.rep=rep_x node=node.next set_x.tail=set_y.tail set_x.len=set_x.len+set_y.len self.setlist.remove(set_y) return rep_x else: set_y.tail.next=rep_x node=rep_x while node is not None: node.rep=rep_y node=node.next set_y.tail=set_x.tail set_y.len+=set_x.len self.setlist.remove(set_x) return rep_y
3.不相交集合森林
使用树来表示一个集合,树的根用来作为集合的代表。树的每个节点都含有元素的数据以及一个指向父节点的指针。根节点的指针为空。
可以用数组来非显式的来表示树:数组的每个成员T[i]表示元素i的父节点,如果i是根,取p[i]为0或者-1。
如果任意执行Union操作,树可能会变为退化树,有几种方法可以避免这种情况
3.1 灵巧求并算法
总是让更小的树成为较大的树的子树,称为按大小求并。另一种方法是按高度求并。
这样的话,任何节点的深度都不会超过logN,Find操作的运行时间是O(logN),而连续M次操作则花费O(MlogN)。
实现时,让数组每个元素包含它的树的大小的负值。
class DisjSet(object): def __init__(self,size): self.list=[-1]*size def find(self,x): if self.list[x]<0: return x else: return self.find(self.list[x]) def union(self,x,y): set_x=self.find(x) set_y=self.find(y) if set_x!=set_y: if self.list[set_x]>self.list[set_y]: self.list[set_y]+=self.list[set_x] self.list[set_x]=set_y return set_y else: self.list[set_x]+=self.list[set_y] self.list[set_y]=set_x return set_x
3.2 路径压缩
路径压缩在一次Find(X)操作期间执行,从X到根的路径上的每一个节点都使它的父节点变成根。
路径压缩与按大小求并是完全兼容的,而不完全与按高度求并兼容。路径压缩时每棵树的高度会发生变化,可以对每棵树所存储的高度估计,用秩rank表示。
class DisjSet_with_rank(object): def __init__(self,size): self.list=[-1]*size def find(self,x): if self.list[x]<0: return x else: self.list[x]=self.find(self.list[x]) return self.list[x] def union(self,x,y): set_x=self.find(x) set_y=self.find(y) if set_x!=set_y: if self.list[set_x]<self.list[set_y]: self.list[set_y]=set_x else: if self.list[set_x]==self.list[set_y]: self.list[set_y]-=1 self.list[set_x]=set_y
路径压缩的显式表示
class SetNode(object): def __init__(self,key): self.parent=None self.key=key self.rank=1 def find(node): if node.parent is None: return node else: node.parent=find(node.parent) return node.parent def union(x,y): x=find(x) y=find(y) if x!=y: if x.rank<=y.rank: if x.rank==y.rank: y.rank+=1 x.parent=y return y else: y.parent=x return x
不相交集合ADT