[再寄小读者之数学篇](2014-10-09 家里蹲大学数学杂志第310期第7题第1小题修正)

1. 设 $f:\bbR\to \bbR$ 连续, 且满足 $$\bex \sup_{x,y\in\bbR}|f(x+y)-f(x)-f(y)|<\infty, \eex$$ $$\bex \vlm{n}\frac{f(n)}{n}=2014. \eex$$ 试证: $$\bex \sup_{x\in\bbR}|f(x)-2014x|<\infty. \eex$$ 2. 设 $\sed{f_i}_{i=1}^n$ 在单位圆 $D=\sed{z;\ |z|<1}$ 内解析, 在 $\bar

一.($3\times 15'=45'$) 1.  求 $\dps{\ls{n}(a^n+b^n)^\frac{1}{n}}$, 其中 $a>b>0$. 解答: 由 $$\bex a<(a^n+b^n)^\frac{1}{n}<2^\frac{1}{n}a \eex$$ 及 $\dps{\ls{n}2^\frac{1}{n}=1}$ (参考第二大题第 4 小题), 夹逼原理知原极限 $=a$. 2.  求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-x}{

1选择题 (本题含 5 小题满分 30 分, 每小题 6 分) (1)函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内具有连续的 2 阶导数, 满足 $f'(x_0)=0$, 并且 $f''(x_0)<0$, 则 (A) A. $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取极大值; B. $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取极小值; C. $(x_0,f(x_0))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点; D. $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内单调减少. 证明: 事实上, $$\bex f

$\bf 摘要$: 本文给出了王大凯等编的<图像处理中的偏微分方程方法>第 5.4.1 节的详细论述. $\bf 关键词$: 图像滤波; 方向扩散模型; matlab 编程 1. 模型的建立 从保护图像边缘的观点出发, 我们希望扩散是沿着平行于边缘的切线方向 (即垂直于 $\n I$ 的方向) 进行. 于是得到如下 PDE: $$\bee\label{1:df} I_t=I_{\xi\xi}, \eee$$ 其中 $\xi(\perp \n I)$ 为单位矢量. 我们化简 \eqref{1:d

同济大学数学系主编, 高等数学 . 第二版, 下册. 2009年, 同济大学出版社. 7 空间解析几何与向量代数 7.5 空间直线及其方程 1(3). 求过点 P(2,-3,3) 且与平面 \pi: x+2y-3z-2=0 垂直的直线 l 的方程. 解答: 直线 l 过点 P(2,-3,3) , 且方向向量与平面法向量 {\bf n}=\sed{1,2,-3} 平行, 为 {\bf s}=\sed{1,2,-3} . 故其方程为 \bex \cfrac{x-2}{1}=\cfrac{y+8}{2

1 (10 分) 设 X 是 Banach 空间, f 是 X 上的线性泛函. 求证: f∈L(X) 的充分必要条件是 N(f)={x∈X; f(x)=0} 是 X 的闭线性子空间. 证明:  参见书 P 82 T 2.1.7(3). 2 (10 分) 设 H 是 Hilbert 空间, l 为 H 上的一实值线性有界泛函, C 是 H 中一闭凸子集, f(v)=12||v||2?l(v)(? v∈C). 求证: (1)? u?∈H , 使得 f(v)=12||v?u?||2?12||u?||2

1 毕达哥拉斯定理 方程: c2=a2+b2 . 说明: 直角三角形斜边长度的平方等于另两边长度的平方和. 发现者: 不详. 发现时间: 不详. 2 牛顿第二定律 方程: F=ma . 说明: 运动的变化与施加的力成正比, 并且变化的方向沿着所施加力的方向. 发现者: 牛顿. 发现时间: 1684-1687 年. 3牛顿万有引力定律 方程: Fg=Gm1m2r2?rr . 说明: 万有引力在物体中普遍存在, 两个物体之间万有引力的大小与二者的质量有关, 并且和两者中心距离的平方成反比. 发现者:

1($20'$) 设 ${\bf A}$ 为秩为 $1$ 的 $n$ 阶方阵, ${\bf A}$ 的迹 $\tr({\bf A})=a\neq 0$. 试求出 ${\bf A}$ 的所有特征值 (写出重数). 解答: 由 $\rank({\bf A})=1$ 知 ${\bf A}$ 的任意两行均线性相关, 而 $$\bex {\bf A}=\sex{\ba{cccc} b_1&b_2&\cdots&b_n\\ c_2b_1&c_2b_2&\cdots&c_

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