《算法导论》读书笔记--第二章 2.3 设计算法

我们可以使用的算法设计技术有很多。插入排序用的是增量方法，即在已经排好的数组中不断加入新的元素。下面考虑一种被称为“分治法”的设计方法。

2.3.1分治法

分治法的思想：将原问题分解为几个规模较小但是类似于原问题的子问题，递归地求解这些子问题，然后合并这些子问题的解来建立原问题的解。分治模式在每层递归时有三个步骤：

分解原问题为若干子问题；

解决这些子问题，递归地求解各子问题，若子问题规模足够小，则直接求解；

合并这些子问题的解成原问题的解。

归并排序算法完全遵循分治模式，操作如下：

分解：分解待排序的n个元素的序列成各具n/2个元素的两个子序列；

解决：使用归并排序递归地排序两个子序列；

合并：合并已经排序的子序列以产生已排序的答案。

当被排序的序列长度为1时，递归“开始回升”。

下面写出合并这一步的伪代码，时间复杂度为theta(n).

//MERGE  伪代码
n1 = q - p + 1
n2 = r - q
Let L[1..n1+1] and R[1..n2+1] be new arrays
for i = 1 to n1
    L[i] = A[p + i -1]
for j = 1 to n2
    R[i] = A[q+j]
L[n1 + 1] = ∞
R[n2 + 1] = ∞
i = 1
j = 1
for k = p to r
    if L[i] <= R[j]
        A[k] = L[i]
        i = i + 1
    else A[k] = R[j]
        j = j + 1

注意点：

1、从左右两个序列中依次取出最小的数存入原数组中；

2、左右两个子序列分别递增，在哪一个子列选出一个数，这个序列下标加1；

3、为了不用每次确认子序列是否为空，要在子序列的最后放一张“哨兵牌”，这张牌非常大，当碰到这张牌时，一定是另一个序列的数被选出，当两个子序列都到达“哨兵牌”时，此时恰好所有数都存进原数组了（由循环头的迭代数目控制）；在左右序列的长度不一致时，哨兵牌才会发挥威力，两个子序列长度一样的时候，同时达到最后一张牌，那么“哨兵牌”就没什么作用了；

4、另外注意的是，需要开辟新的数组来存储每个子序列，注意下标的确认，尤其是计算子序列长度时不要弄错。