信号频谱的几种表示方式及其关系

这里将连续信号和离散信号的频谱的几个式子总结在一起。方便使用时查阅。

一个时域连续信号x(t)，假设其能量有限，并且频域带宽有限，则可以对其进行傅立叶变换求其频谱。

上面的式子中，X(Ω)称为信号的频谱。如果我们在频域用f来作为自变量。则上面的式子改写为：

这两种频谱表示间的关系很简单。

相应的，有所谓的能量等式：

对连续信号进行采样，就得到了离散信号。设采集频率为 fs，采样时间间隔为Δ。那么离散信号x[n] 与连续信号 x(t) 的关系如下：

离散信号的频谱通常写为：

这里的ω与连续信号的Ω之间的关系如下：

如果用f作为频域自变量，则：

这里用了X’(f) 是为了与连续信号频谱表示相区别。X’(f) 与连续信号频谱X(f) 有什么关系呢？简单的推导可知当信号采样频率满足乃奎斯特采样定律时，X’(f) 与连续信号频谱X(f) 有简单的联系。

有些教科书上（比如程乾生教授所著的数字信号处理教材），会给出这样的离散信号频谱的定义：

对应的能量等式如下：

从上面能量等式，还可以得到如下关系：

这其实就是积分近似计算中常用的矩形算法。相应的，信号通过一个线性系统（用h(t)表示）后的输出y(t)与x(t) 的关系如下；

如果我们对x(t)、h(t) 和y(t)都进行采样，得到x[n]、h[n]和y[n]，并且采样过程满足采样定律的要求。那么我们利用 x[n]和h[n] 就应该可以计算出 y[n]。

实际应用中，我们不可能采集无限长时间的数据，因此我们用于处理的离散信号通常都限定在一定长度。这时它的频谱为：

对于N个数据点的序列，我们实际上只需要计算N个频点的值。

因此，可以得到有限离散频谱公式如下：